Quesito di algebra nell’Esame di matematica di Terza Media

12 Apr 2017

quesito di algebra

Il quesito di algebra nell’Esame di Terza Media riguarda le equazioni di primo grado e problemi numerici e geometrici risolvibili con le equazioni.

Gli argomenti della prova di matematica dell’esame di Terza Media sono:

  • Algebra
  • Geometria analitica
  • Geometria
  • Geometria solida
  • Statistica o matematica applicata alle scienze.

Vediamo nello specifico cosa può essere il contenuto del quesito di algebra.

Quesito di Algebra

Il quesito di algebra della prova d’esame riguarda solitamente le Equazioni di primo grado.

http://redooc.com/it/medie/matematica-algebra/equazioni-lineari/identita-equazioni#definizione-equazione

Equazioni di Primo Grado

Probabilmentenel quesito di algebra verrà richiesto di risolvere un’equazione di primo grado e di individuare se l’equazione è determinata, indeterminata o impossibile. Vediamo di cosa stiamo parlando.

Le equazioni sono uguaglianze che contengono almeno un’incognita. Risolvere un’equazione significa scoprire il valore dell’incognita.

http://redooc.com/it/medie/matematica-algebra/equazioni-lineari/come-risolvere-equazione

Non tutte le equazioni però hanno una soluzione!

  • Ci sono equazioni determinate, cioè che ammettono una soluzione.
  • Ci sono equazioni che hanno infinite soluzioni, per questo sono equazioni indeterminate: l’uguaglianza è verificata per infiniti valori dell’incognita.
  • Se un’equazione non ha nessuna soluzione è un’equazione impossibile!

http://redooc.com/it/medie/matematica-algebra/equazioni-lineari/come-risolvere-equazione#soluzioni-determinata-indeterminata-impossibile

 

Ma come facciamo a capire se la soluzione che abbiamo trovato è corretta?

Dobbiamo fare una verifica!

Un po’ come abbiamo già imparato a fare con la divisione: per controllare che il risultato sia corretto, moltiplichiamo il risultato per il divisore. Se otteniamo il dividendo, abbiamo svolto la divisione correttamente!

Anche per le equazioni possiamo fare una verifica: basta sostituire la soluzione che abbiamo trovato al posto dell’incognita. Se otteniamo un’identità, la soluzione dell’equazione è corretta.

http://redooc.com/it/medie/matematica-algebra/equazioni-lineari/come-risolvere-equazione#secondo-principio-equivalenza

 

Utilizza i principi di equivalenza per trovare equazioni equivalenti e semplificare i calcoli.

Due equazioni sono equivalenti se hanno la stessa soluzione. http://redooc.com/it/medie/matematica-algebra/equazioni-lineari/come-risolvere-equazione#equazioni-equivalenti

Grazie al primo principio di equivalenza, possiamo sommare o sottrarre un qualsiasi numero ai due membri dell’equazione per trovare un’equazione equivalente.

Scopri la regola del trasporto e la regola di cancellazione!

http://redooc.com/it/medie/matematica-algebra/equazioni-lineari/come-risolvere-equazione#primo-principio-equivalenza

Grazie al secondo principio di equivalenza, possiamo moltiplicare o dividere entrambi i membri per uno stesso numero e troviamo un’equazione equivalente a quella di partenza.

http://redooc.com/it/medie/matematica-algebra/equazioni-lineari/come-risolvere-equazione#secondo-principio-equivalenza

 

Molto probabilmente nel quesito di algebra della prova di matematica ti verrà richiesto di utilizzare le equazioni per risolvere dei problemi.

Risolvere i problemi con le equazioni

Le equazioni possono tornare utili anche per risolvere i problemi di matematica apparentemente difficili. Leggendo bene il problema, possiamo individuare l’incognita che dobbiamo calcolare. Quindi proviamo a scomporre il problema in parti e scriviamo l’equazione che ci permetterà di calcolare l’incognita e trovare la soluzione al problema.

Con l’aiuto delle equazioni possiamo risolvere anche i problemi geometrici. Una volta individuata la nostra incognita e impostata l’equazione, possiamo risolvere e semplificare i problemi di geometria e i problemi con i numeri.

http://redooc.com/it/medie/matematica-algebra/equazioni-lineari/equazioni-problemi

Alcuni problemi di matematica sono più facili da risolvere se riusciamo a scrivere e risolvere l’equazione corretta.

Per ricavare l’equazione che risolve il problema, segui questi semplici passaggi:

  • ricordati sempre di leggere bene il testo del problema;
  • individua l’incognita, il dato che devi ricavare dal problema;
  • scrivi l’equazione utilizzando tutte le informazioni che trovi nel testo del problema.

Una volta scritta l’equazione, puoi risolverla utilizzando le tecniche che hai già imparato. Verifica se la soluzione è quella esatta e scrivi la risposta a parole.

Problemi numerici – Esempio:

“Dio gli concesse la fanciullezza per un sesto della sua vita; dopo un altro dodicesimo la barba coprì le sue guance; dopo un settimo accese la fiaccola nuziale, e dopo cinque anni ebbe un figlio. Ahimè! il misero fanciullo, pur tanto amato, appena raggiunta la metà degli anni di vita del padre, morì. Quattro anni ancora, mitigando il proprio dolore con la scienza dei numeri, visse Diofanto a raggiungere il termine della sua vita”. Ma allora quanti anni visse Diofanto?

Scopri la soluzione su redooc.com: http://redooc.com/it/medie/matematica-algebra/equazioni-lineari/equazioni-problemi#problemi-numerici

E per quanto riguarda i problemi geometrici?

Ogni volta che cerchiamo l’area, il perimetro, il volume… di una figura geometrica, stiamo risolvendo un’equazione: sostituiamo il valore di ogni elemento nella formula e troviamo quello che stiamo cercando.

Non ti ricordi le formule inverse? Parti dalla formula standard e poi risolvi l’equazione ponendo come incognita quello che ti serve.

Non sempre i problemi geometrici sono così semplici. Potrebbe capitare di dover risolvere un problema risolvendo un’equazione più complessa:

  • leggi bene il testo del problema;
  • individua l’incognita, il dato che devi ricavare dal problema;
  • scrivi l’equazione utilizzando tutte le informazioni che trovi nel testo del problema.

Una volta che hai trovato l’equazione, risolvila per rispondere al quesito del problema. Per risolvere i problemi geometrici, dovrai ricordare anche qualche formula o qualche proprietà dei poligoni per poter impostare l’equazione corretta.

http://redooc.com/it/medie/matematica-algebra/equazioni-lineari/equazioni-problemi#problemi-geometrici

 

Oltre alle equazioni, il quesito di algebra dell’esame potrebbe comprendere anche:

Monomi e polinomi

Un altro probabile argomento dell’esame di Matematica di Terza Media sono monomi e polinomi e prodotti notevoli.

Ma cosa sono monomi e polinomi? http://redooc.com/it/medie/matematica-algebra/monomi-polinomi

Utilizziamo monomi e polinomi tutti i giorni senza rendercene conto. In matematica non esistono solo i numeri! Molto spesso utilizziamo delle espressioni letterali, cioè combinazioni di lettere e numeri: sono i monomi, le etichette della matematica!

Le espressioni letterali più semplici si chiamano monomi.

12ab, −7x, 8y3z2, t2 sono monomi.

Un monomio è composto da:

  • un coefficiente numerico
  • una parte letterale

Il coefficiente numerico può essere un numero positivo oppure negativo, può essere un numero intero, una frazione o un numero decimale. Può anche essere il numero 0

La parte letterale è il prodotto di lettere, ognuna con il proprio esponente. In un monomio le lettere non sono mai al denominatore di una frazione, quindi non hanno mai esponente negativo.

Riconosciamo un monomio perché sono presenti solo moltiplicazioni tra coefficiente numerico e parte letterale.

http://redooc.com/it/medie/matematica-algebra/monomi-polinomi/monomi-calcolo-letterale

 

Possiamo svolgere le operazioni che conosciamo anche con i monomi!

Prima di calcolare l’addizione o la sottrazione tra due monomi, dobbiamo controllare se sono simili. Due monomi sono simili se hanno la stessa parte letterale. In questo caso possiamo sommarli (o sottrarli) semplicemente sommando (o sottraendo) i loro coefficienti numerici.

La moltiplicazione tra due monomi è sempre possibile: svolgiamo il prodotto tra i coefficienti numerici e utilizziamo le proprietà delle potenze per calcolare il prodotto tra le lettere della parte letterale.

Per fare la divisione tra monomi, dobbiamo prima controllare che siano divisibili! Due monomi non sono divisibili quando il grado del dividendo rispetto ad una lettera è minore di quello del divisore rispetto alla stessa lettera. Controlla sempre tutte le lettere e tutti gli esponenti prima di svolgere una divisione tra monomi!

http://redooc.com/it/medie/matematica-algebra/monomi-polinomi/operazioni-monomi

 

Cosa sono invece i polinomi?

Un polinomio si chiama così perché è formato da più monomi. Impara a riconoscere binomi, trinomi e altri polinomi. Scopri come calcolare il grado di un polinomio e il valore di un polinomio.

http://redooc.com/it/medie/matematica-algebra/monomi-polinomi/polinomi

Un polinomio può essere formato da due o più monomi: i binomi sono polinomi formati da due monomi e i trinomi sono polinomi formati da tre monomi.

Diciamo che un polinomio è ridotto a forma normale quando non compaiono monomi simili, quindi non possiamo più sommare niente: il polinomio non può essere ridotto più di così.

Il grado di un monomio è uguale alla somma degli esponenti di ciascuna lettera che forma la parte letterale.

Per i polinomi non funziona così! Il grado di un polinomio è il massimo tra i gradi di tutti i monomi che lo compongono. Se i termini che formano un polinomio sono tutti dello stesso grado, siamo di fronte ad un polinomio omogeneo.

http://redooc.com/it/medie/matematica-algebra/monomi-polinomi/polinomi#grado-polinomio

Le espressioni letterali sono dei modi per scrivere concetti o formule matematiche in modo più compatto. Possiamo quindi trovare il valore di un polinomio sostituendo il numero che vogliamo al posto di una lettera.

http://redooc.com/it/medie/matematica-algebra/monomi-polinomi/polinomi#valore-polinomio

Operazioni tra polinomi

Come si sommano due polinomi? Non esistono i polinomi simili, ma i polinomi possono essere formati da monomi simili.

Per sommare due polinomi, scriviamoli separandoli con il segno +. Poi riduciamo il polinomio somma a forma normale. In che modo? Cerchiamo i monomi simili e sommiamoli! Per sommare due polinomi, basta saper riconoscere i monomi simili.

E per sottrarre due polinomi? Facciamo lo stesso! Dobbiamo però fare attenzione al segno meno: messo davanti ad un polinomio (scritto tra parentesi), fa cambiare di segno a tutti i termini che lo compongono.

Il prodotto tra un monomio e un polinomio sfrutta la proprietà distributiva della moltiplicazione sull’addizione. Il prodotto tra due polinomi sfrutta sempre la proprietà distributiva imparata studiando le quattro operazioni.

http://redooc.com/it/medie/matematica-algebra/monomi-polinomi/operazioni-polinomi

Prodotti notevoli

Abbiamo imparato a fare le quattro operazioni con i monomi e anche con i polinomi. Ci sono però dei trucchi che permettono di svolgere certe operazioni più velocemente: sono i prodotti notevoli! Una volta riconosciuto un prodotto notevole, possiamo applicare dei trucchi per risolverlo velocemente.

Uno dei prodotti notevoli è la somma di due monomi per la differenza degli stessi: invece di fare tutti i passaggi richiesti per calcolare il prodotto tra due polinomi, possiamo risolverlo velocemente. Il risultato è uguale alla differenza dei quadrati dei due monomi.

Un altro prodotto notevole è il quadrato di un binomio. Finora abbiamo imparato a risolverlo moltiplicando il binomio per se stesso. Grazie ai prodotti notevoli, possiamo risolverlo più velocemente: il quadrato di un binomio è uguale ai quadrati dei due termini con l’aggiunta del doppio prodotto tra i due termini.

http://redooc.com/it/medie/matematica-algebra/monomi-polinomi/prodotti-notevoli

 

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