Come risolvere i sistemi lineari

Sai già cosa sono i sistemi lineari di equazioni ma ti stai domandando come risolverli? I metodi di soluzione sono molto semplici. Guarda i nostri video per trovare i due metodi principali e gli esempi per impostare e poi risolvere i sistemi.

Risolvere i sistemi di equazioni lineari è semplice. Ci sono molti metodi di risoluzione dei sistemi, ma alcuni sono più lunghi e macchinosi di altri.
Per questo qui imparerai a risolvere i sistemi lineari con il metodo di sostituzione o con il metodo di riduzione.

Il metodo di sostituzione funziona sempre e, come dice il nome, si basa sulla sostituzione del valore di un'incognita: ricava un'incognita in funzione dell'altra, sostituiscila nell'equazione e trova il suo valore numerico. A questo punto torna indietro e risolvi il sistema. Non c'è niente di difficile, ma il procedimento è piuttosto lungo. 

Che ne dici di velocizzare i conti con il metodo di riduzione? Se i coefficienti di una delle due incognite sono rispettivamente uguali o opposti basta sottrarre o sommare membro a membro le due equazioni. Troverai subito il valore numerico di una delle due incognite e ti basterà sostituirlo in una delle due equazioni del sistema per trovare anche l’altra incognita.

Non tutti i sistemi però hanno una soluzione! Esistono sistemi impossibili, cioè senza soluzione, e sistemi indeterminati, con infinite soluzioni: questo accade quando le due equazioni sono uguali.

Scopri nei video come riconoscere i sistemi impossibili e indeterminati e impara a risolvere i sistemi determinati con i metodi di sostituzione e di riduzione

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Prerequisiti per imparare a risolvere i sistemi lineari

I prerequisiti per imparare a risolvere i sistemi lineari sono:

Metodo di risoluzione di un sistema

Qui trovi come risolvere i sistemi intuitivamente: costruiamoci un metodo per risolvere i sistemi usando solo il ragionamento!

Sotto trovi altri post con esercizi svolti sui metodi per risolvere i sistemi. Ci sono almeno molti metodi per risolvere i sistemi, qui ne vediamo due:

  • Metodo di sostituzione
  • Metodo di riduzione

Puoi scegliere tu quale metodo usare. In base alle equazioni del sistema, un metodo può essere più veloce di un altro. Qui servono esperienza e allenamento!

Metodo di sostituzione

Il metodo di sostituzione nei sistemi di equazioni ti permette di trovare facilmente la soluzione. È molto facile da usare e molto intuitivo. Ecco come risolvere i sistemi con il metodo di sostituzione:

  1. Isola l’incognita che vuoi in una delle due equazioni
  2. Sostituisci quello che hai trovato nell’altra equazione
  3. Risolvi l’equazione trovata, che ha una sola incognita
  4. Sostituisci il valore trovato nell’altra equazione e risolvila

Questo metodo è il più intuitivo e semplice anche se a volte può essere un po’ lungo. L’unica difficoltà sta nel non sbagliare i conti!

Metodo di riduzione

Il metodo di riduzione può essere più veloce del metodo di sostituzione per risolvere un sistema lineare. Funziona molto bene quando i coefficienti di una delle due incognite sono uguali o opposti. In questi casi allora il metodo di riduzione è molto utile perché ti basta:

  1. Ordinare le incognite e il termine noto sia nella prima che nella seconda equazione
  2. Se i coefficienti di una incognita sono uguali, allora sottrai le due equazioni. Se invece sono opposti, fai la somma
  3. Trovi un’equazione facile da risolvere con una sola incognita
  4. Sostituisci il valore trovato nell’altra equazione e risolvila.

Un sistema ha sempre una soluzione?

Come capire se un sistema è impossibile oppure se il sistema è indeterminato? Un metodo facile è scrivere entrambe le equazioni isolando la £$y$£:

  • se i coefficienti di £$x$£ sono uguali ma hanno termine noto diverso allora il sistema è impossibile perché le due rette sono parallele
  • se i coefficienti di £$x$£ sono uguali ed è anche uguale il termine noto, allora le due equazioni sono uguali cioè sono la stessa retta e ci sono infinite soluzioni: il sistema è indeterminato.

E se non vogliamo scriverle in questa forma? Cosa succede se iniziamo a fare i conti? Sei nel posto giusto per scoprirlo!

Come impostare i sistemi

Se hai visto come trovare le soluzioni di un sistema ora ti chiederai: a cosa servono i sistemi? Quali problemi risolvono? Ottima domanda. Qui scoprirai come risolvere i problemi con i sistemi lineari.

La cosa più difficile è impostare il problema. Per questo qui trovi due esercizi svolti sui sistemi e ti facciamo vedere cosa devi guardare per impostare i sistemi.

Metodo di Cramer

Come risolvere i sistemi con il metodo di Cramer? Ecco tutti i passaggi da seguire:

1. scrivere il sistema nella forma £$\begin{cases} a_{1}x+b_{1}y=c_{1} \\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\end{cases}$£

2. calcolare il determinante della matrice dei coefficienti £$A=\left( \begin{array}{cc} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{array} \right)\Rightarrow D=a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}$£

3. calcolare il determinante delle matrici delle incognite

£$A_{x}=\left( \begin{array}{cc} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{array} \right)\Rightarrow D_{x}=c_{1}b_{2}-b_{1}c_{2}$£ e £$A_{y}=\left( \begin{array}{cc} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{array} \right)\Rightarrow D_{y}=a_{1}c_{2}-c_{1}a_{2}$£

4. la soluzione del sistema è $$x=\frac{D_{x}}{D} \quad y=\frac{D_y}{D}$$

Caso 1 - Sistema determinato: se £$D\ne 0$£ il sistema è determinato.

Caso 2 - Sistema indeterminato: se £$D=0$£ e almeno uno tra £$D_{x}$£ e £$D_{y}$£ è uguale a £$0$£, il sistema è indeterminato.

Caso 3 - Sistema impossibile: se £$D=0$£ e sia £$D_{x}$£ che £$D_{y}$£ sono diversi da £$0$£, il sistema è impossibile.

Esercizi svolti Come risolvere i sistemi lineari

Ecco gli esercizi su Come risolvere i sistemi lineari in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Sistemi lineari di equazioni. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti e entra in classifica! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Aritmetica e Algebra

Esercizi Come risolvere i sistemi lineari - 1

Ecco i primi esercizi sui sistemi di equazioni lineari. Impara a scegliere il metodo giusto (cioè il più veloce) da usare. Usa la spiegazione degli esercizi per capire e ripassare come risolvere i sistemi di equazioni.

Esercizi Come risolvere i sistemi lineari - 2

Risolvere i sistemi è facile. Alcune volte è più difficile impostarli. Allenati a riconoscere quali sono le soluzioni di un sistema e se il sistema è determinato, impossibile o indeterminato con i nostri esercizi tutti spiegati.

Esercizi Come risolvere i sistemi lineari - 3

Dimostra di essere preparato sui sistemi lineari con gli esercizi del livello 3! Non spaventarti, puoi sempre ripassare leggendo la spiegazione degli esercizi svolti sui sistemi di equazioni lineari!

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