Introduzione ai sistemi lineari

Qual è il significato geometrico dei sistemi lineari? Cosa rappresenta la soluzione di un sistema lineare? Prima di imparare a risolvere i sistemi lineari è importante capire perché li studiamo. Qui trovi tutte le risposte!

Come trovare le soluzioni di un’equazione di primo grado con due incognite £$x$£ e £$y$£? Basta sostituire dei valori alle incognite e se risulta un’identità allora hai trovato la soluzione.
Ma cosa rappresenta un’equazione lineare in due incognite? Una retta nel piano cartesiano. E se prendi due rette, quindi due equazioni lineari, possono incontrarsi in un punto, oppure in nessuno, se sono parallele.
I sistemi di equazioni lineari servono a trovare le coordinate del punto di intersezione (se c’è). In altre parole vogliamo trovare i valori delle variabili che rendono contemporaneamente le equazioni delle identità.

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Prerequisiti per imparare i sistemi lineari

I prerequisiti per imparare i sistemi lineari sono:

Equazioni lineari in 2 incognite

Sai come risolvere le equazioni di primo grado con un’incognita (di solito è £$x$£). Ma cosa succede se ci sono due incognite? Cosa rappresenta l’equazione £$y-x=0$£? Ricorda che le incognite sono numeri quindi puoi, per esempio, portare la £$x$£ dall’altra parte:

£$y-x=0 \to y=x$£

Cosa rappresenta l’equazione £$y=x$£? È una retta! Ma questo vale per tutte le equazioni che hanno due incognite con esponente £$1$£.

Quali sono le soluzioni? Tutti i punti della retta! Infatti se diamo un valore qualunque alla £$x$£ e lo sostituiamo nell’equazione della retta troviamo £$y$£

Ma quante sono? Una per ogni punto della retta, che sono infiniti! Quindi un’equazione con due incognite di grado £$1$£ ha sempre infinite soluzioni.

Ma queste equazioni sono rette, quindi sono chiamate equazioni lineari.

Metodo grafico

Le equazioni con due incognite, entrambe di grado al massimo £$1$£, sono delle rette nel piano cartesiano. Ma i sistemi servono a trovare le soluzioni comuni alle equazioni che lo compongono. Quindi, cosa rappresentano i valori di £$x$£ e £$y$£ trovati? Nel piano cartesiano, £$x$£ e £$y$£ sono le coordinate di un punto e questo punto sta su tutte e due le rette del sistema. Quindi la soluzione di un sistema lineare è il punto di intersezione tra le due rette!

Ma se le rette sono parallele? Non abbiamo nessun punto in comune, quindi il sistema non ha soluzioni (diciamo che è impossibile). Se invece le rette sono una sopra l’altra, cioè se coincidono, avranno tutti i punti in comune. Quindi infinite soluzioni (in questo caso, diciamo che il sistema è indeterminato).

A cosa serve un sistema

Un sistema è un insieme di un certo numero di equazioni che hanno una o più incognite. La soluzione del sistema quindi è il valore di ciascuna incognita che rende vere contemporaneamente tutte le equazioni del sistema.

Ma a cosa servono? I sistemi servono a trovare le soluzioni (quindi i valori delle incognite) comuni delle equazioni che lo compongono.

La cosa difficile non è risolvere un sistema, ma modellizzare una situazione reale utilizzando un sistema. Qui trovi un esempio che ti aiuta a capire come impostare un sistema per risolvere una situazione reale.

Grado di un sistema

Come per le equazioni, anche i sistemi di equazioni hanno un grado. Ma come si calcola? È molto facile! Basta guardare il grado delle equazioni del sistema:
"il grado del sistema è uguale al prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono".

Facciamo un esempio: il sistema £$\begin{cases} x+4y = 2 \\ 3x -y = 0 \end{cases}$£ ha grado £$1$£ perché entrambe le equazioni hanno grado £$1$£ e £$1\cdot 1=1$£

Invece, il grado del sistema £$\begin{cases} 2x^4+4y^3 = 2 \\ 3x^3 -y = 0 \end{cases}$£ è uguale a £$4\cdot 3 = 12$£.

Esercizi svolti Introduzione ai sistemi lineari

Ecco gli esercizi su Introduzione ai sistemi lineari in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Sistemi lineari di equazioni. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti e entra in classifica! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Aritmetica e Algebra

Esercizi Introduzione ai sistemi lineari - 1

Impara a riconoscere le equazioni lineari in due incognite e i sistemi di equazioni lineari in due incognite. Leggi la spiegazione degli esercizi svolti dopo aver risposto così ripassi per la domanda successiva!

Esercizi Introduzione ai sistemi lineari - 2

Risolvi graficamente i primi sistemi di equazioni lineari, disegnando le rette nel piano cartesiano per capire se il sistema ha una soluzione, nessuna soluzione oppure infinite soluzioni (se le due rette si sovrappongono).

Esercizi Introduzione ai sistemi lineari - 3

Impara come impostare i sistemi di equazioni lineari! Traduci una problema reale in un sistema di equazioni. Questa è la cosa più difficile, ma anche la più importante. Ricorda: gli esercizi sono tutti svolti e spiegati!

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