Calcolo delle derivate

Per calcolo delle derivate intendiamo il calcolo della derivata di somme, prodotti, quozienti di funzioni. Impara inoltre a trovare la formula della derivata di una funzione composta o inversa. Riassumi tutte le formule in una tabella del calcolo delle derivate!

2018-08-13 17:53:14

In analisi matematica le derivate sono definite tramite il limite del rapporto incrementale. Non tutte le funzioni sono derivabili nel loro dominio e i punti in cui non si può calcolare la derivata si chiamano punti di non derivabilità. Per calcolare la derivata delle funzioni elementari non è necessario risolvere sempre il limite del rapporto incrementale, una volta dimostrate le formule delle derivate fondamentali puoi usare quelle!
Capita raramente di dover studiare una funzione elementare da sola! Le funzioni che usiamo sono somme, prodotti, quozienti, composizioni di funzioni elementari. Come si calcola la derivata di queste funzioni? Utilizziamo le regole delle derivate fondamentali unite a quelle del calcolo delle derivate di somme, prodotti, quozienti e composizione di funzioni elementari, che impareremo con questi brevi video ed esercizi svolti.
Fa parte delle regole del calcolo delle derivate anche la derivazione di funzioni inverse come per esempio l’arcoseno o l’arcotangente.

Formulario per il calcolo delle derivate

Gli esercizi svolti e gli esempi spiegati nelle video pillole saranno molto utili per capire e imparare le regole del calcolo delle derivate. Per avere tutte le formule sempre a portata di mano guarda anche questo formulario!

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Come calcolare la derivata della somma di funzioni

Se prendi due funzioni e le sommi, cosa succede? Trovi una nuova funzione! Ad esempio se prendi la funzione £$f(x)=x$£ e £$g(x)=x^3$£ la funzione somma è £$s(x)=f(x)+g(x)=x+x^3$£.
Come si calcola la derivata della somma di due o più funzioni? Hai studiato le derivate fondamentali quindi sai calcolare la derivata delle funzioni elementari, ora puoi sfruttare queste regole per calcolare la derivata della somma.
La regola per calcolare la derivata della somma di funzioni è la più semplice da ricordare: la derivata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate delle due funzioni: £$ s'(x)=(f(x)+g(x))’=f’(x)+g’(x) $£
Riprendiamo l'esempio. Sappiamo calcolare la derivata delle due funzioni elementari £$f(x)=x$£ e £$g(x)=x^3$£: £$f'x)=1$£ e £$g'(x)=3x^2$£. La derivata della somma sarà: £$s'(x)=f'(x)+g'(x)=1+3x^2$£, cioè la somma delle derivate delle due funzioni sommate.
E se le funzioni sommate sono più di due? La regola vale ancora! E vale per un qualsiasi numero di funzioni sommate: £$s(x)=x+ \ln x +x^2+ e^x$£ ha derivata £$s'(x)=1+\frac{1}{x}+2x+e^x$£
La stessa regola vale se al posto dell'addizione c'è la sottrazione. Quindi possiamo dire che vale per la somma algebrica di due funzioni.

Come calcolare la derivata del prodotto di funzioni?

Hai due funzioni e le moltiplichi. Cosa succede? Ottieni una nuova funzione: la funzione prodotto.

Per esempio hai la funzione £$f(x)=x^2$£ e la funzione £$g(x)= sen (x)$£, moltiplicale e ottieni una nuova funzione £$p(x)= x^2 \cdot sen (x)$£.
Come fai per calcolare la derivata? La derivata del prodotto di funzioni NON è uguale al prodotto delle derivate delle due funzioni (fattori). Vediamo come funziona per il prodotto di due funzioni: la derivata del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto del primo fattore derivato per il secondo senza derivare, sommato al primo senza derivare per il secondo derivato: £$ (f(x) g(x))’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x) $£. Se le due funzioni sono quelle dell'esempio precedente abbiamo: £$f(x)=x^2 \to f'(x)=2x$£ e £$g(x)=sen (x) \to g'(x)=cos(x)$£, la derivata del prodotto è: £$p'(x)=2x \cdot sen (x)+x^2 \cdot cos (x)$£.

Il prodotto e la somma sono commutativi quindi non è importante quale consideri come primo o secondo fattore, quello che conta è che quello che derivi la prima volta non sia derivato la seconda e viceversa per il secondo!

Quando può essere realmente utile la regola di derivazione del prodotto? Raramente ti capiterà di dover moltiplicare due o più funzioni, più spesso ti capiterà di avere una funzione che non sai derivare e che, scomposta nel prodotto di due funzioni elementari è facile da derivare. Per esempio la funzione £$h(x)=\ln (x)^{x^2}$£ non ha derivata immediata, ma applicando le proprietà dei logaritmi puoi scriverla come il prodotto: £$h(x)=x^2 \cdot \ln x$£.

Il prodotto di una funzione per una costante, è un caso particolare di prodotto di funzioni dove una delle due funzioni è sempre una costante. La formula della derivata del prodotto per una costante diventa: £$c f(x))’=c f’(x)$£. Cioè se moltiplico £$f(x)=x$£ per la costante £$7$£, ottengo la funzione £$p(x)=7x$£ che ha derivata £$p'(x)=7 \cdot 1+0 \cdot x=7 \cdot 1 =7$£

Come derivare il prodotto di tre o più funzioni

Abbiamo visto la formula della derivata del prodotto di due funzioni. Per la derivata del prodotto di tre o più funzioni, qual è la regola? Sempre la stessa! Basta applicare la proprietà associativa del prodotto e poi la regola di derivazione del prodotto di due funzioni.
Se £$p(x)=f(x)g(x)h(x)$£ è il prodotto di tre funzioni, associa due di queste e scrivi il prodotto così: £$p(x)=f(x) \cdot (g(x)\cdot h(x))$£ e la derivata è £$p'(x)=f'(x) \cdot (g(x)h(x))+f(x)(g(x)h(x))'$£ Cioè, sviluppando i calcoli:

£$p'(x)=f'(x)g(x)h(x)+f(x)(g'(x)h(x)+g(x)h'(x))=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)$£

Per esempio se le tre funzioni sono £$f(x)=x^2$£, £$g(x)=sen (x)$£ e £$h(x)=\sqrt{x}$£, moltiplicandole ottieni la funzione prodotto £$p(x)=x^2 \cdot sen(x) \cdot \sqrt{x}$£. La derivata del prodotto £$f(x)\cdot g(x)$£ è £$(2x \cdot sen (x)+x^2 \cdot cos (x))$£, quindi associamo le funzioni così: £$p(x)=(x^2 \cdot sen (x)) \cdot \sqrt{x}$£, calcoliamo la derivata: £$p'(x)=(2x \cdot sen (x)+x^2 \cdot cos (x)) \cdot \sqrt{x}+ (x^2 \cdot sen (x)) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}= 2x \cdot sen (x) \cdot \sqrt{x}+x^2 \cdot cos (x) \cdot \sqrt{x}+x^2+sen(x)+\frac{1}{2\sqrt{x}}$£.

Se il prodotto è di quattro, cinque o più funzioni, la regola è sempre la stessa. Riscrivi il prodotto con la proprietà associativa e utilizza la formula della derivata del prodotto!

Come calcolare la derivata di un quoziente

Prendi due funzioni elementari, per esempio £$f(x)=sen \ x$£ e £$g(x)=cos \ x$£, e mettine una al numeratore e l'altra al denominatore. Avari una nuova funzione: la funzione quoziente! Riprendendo l'esempio: £$q(x)=\frac{sen \ x}{cos \ x}$£ è la funzione quoziente.
Come si calcola la derivata del quoziente di funzioni? La derivata di un quoziente è:

  • numeratore: la differenza della derivata della funzione al numeratore per la funzione al denominatore non derivata, con la funzione al numeratore non derivata, per la derivata della funzione al denominatore
  • denominatore: quadrato della funzione al denominatore.

Se proprio non puoi fare a meno delle formule: £$f(x)=\frac{N(x)}{D(x)}$£ ha derivata £$ f’(x) = \left( \frac{N(x)}{D(x)} \right)’ = \frac{N’(x)D(x)-N(x)D’(x)}{[D(x)]^2}$£.

Quindi, la derivata di £$h(x)=\frac{sen \ x}{cos \ x}$£ è £$h'(x)=\frac{cos \ x \cdot cos \ x- sen \ x (-sen \ x)}{cos^2x}$£.
Come la formula della derivata del prodotto di funzioni, anche quella del quoziente è molto utile quando non sai derivare una funzione, ma puoi vederla come il quoziente di due funzioni elementari che sai derivare. Per esempio hai la funzione £$h(x)=tg \ x$£, che non ha una derivata immediata, ma per la seconda relazione fondamentale della goniometria sai che £$tg \ x= \frac{sen \ x }{cos \ x}$£, che è proprio il quoziente dell'esempio precedente, e che ha derivata: £$h'(x)=(tg(x))'=\frac{cos \ x \cdot cos \ x- sen \ x (-sen \ x)}{cos^2x}=\frac{cos^2x + sen^2 x}{cos^2x}=\frac{1}{cos^2 x}$£.
Se la regola di derivazione di un quoziente di funzioni non ti entra in testa, ricordati sempre che puoi vedere ogni quoziente come un prodotto del numeratore per il reciproco del denominatore, e puoi così applicare la regola di derivazione del prodotto di funzioni anche nel quoziente. In alcuni momenti ti verrà da scrivere la derivata del quoziente di due funzioni come il quoziente delle due derivate, questo NON è corretto, perché non corrisponde con la formula di derivazione del quoziente di funzioni.

Quando derivi ricordati del dominio della funzione!

Qual è la derivata di £$f(x)=\ln x $£? Facile è £$f'(x)=\frac{1}{x}$£. Ma questo solo per £$x > 0 $£ cioè per le £$x$£ che sono nel dominio della funzione! Quindi ogni volta che calcoliamo la derivata di una funzione, dobbiamo sempre stare attenti al suo dominio.
Vediamo un altro caso in cui dobbiamo stare attenti: la funzione £$f(x)=\frac{x^3}{x}$£ ha derivata £$f'(x)=2x$£ che è uguale alla derivata di £$g(x)=x^2$£. Ma quindi hanno la stessa derivata? Quasi. Infatti la funzione £$f$£ non è definita in £$ x=0 $£ anche se lì ha un punto di discontinuità eliminabile. Anche per la sua derivata vale lo stesso ragionamento, quindi £$f(x)=\frac{x^3}{x}$£ ha derivata £$f'(x)=2x$£ tranne in £$x = 0 $£. Rimane comunque un punto di discontinuità eliminabile.


Come derivare una funzione composta

Hai imparato a derivare le somme, i prodotti e i quozienti di funzioni elementari, e se hai una funzione composta? Una funzione composta è una funzione di funzione, cioè, per esempio, £$h(x)=\ln (sen \ x)$£, quindi è una funzione che ha per argomento un'altra funzione.
Comederivare una funzione composta? La regola per derivare una funzione di funzione si chiama anche regola della catena o derivata “a cipolla” perché devi derivare, di seguito tutte le funzioni “componenti” ossia tutte quelle che trovi una dentro l’altra, partendo da quella più esterna, fino ad arrivare a quella più interna e devi poi moltiplicarle fra loro.

Quindi, per esempio, se le funzioni sono due, £$f$£ e £$g$£, la derivata di £$f(g(x))$£ è £$ [f(g(x))]’=f’(g(x)) \cdot g’(x)$£
Perciò se £$h(x)=\ln(sen \ x)$£, le funzioni componenti sono £$f(x)=\ln (g(x))$£ e £$g(x)=sen \ x $£. La derivata è. £$h'(x)=\frac{1}{sen \ x} \cdot cos \ x$£

Come derivare una funzione composta da più funzioni

Quando una funzione è composta da tre o più funzioni, come cambia la regola di derivazione? La regola per derivare una funzione composta va bene sia che le funzioni composte siano due o più. È sempre la regola della catena: bisogna moltiplicare la derivata di tutte le funzioni “componenti” ossia tutte quelle che trovi una dentro l’altra, partendo da quella più esterna.

Abbiamo visto che se le funzioni sono due, £$f$£ e £$g$£, la derivata di £$f(g(x))$£ è £$[f(g(x))]’=f’(g(x)) \cdot g’(x)$£.
Se la funzione è composta da tre funzioni: £$f$£, £$g$£ e £$h$£ allora la derivata di £$f(g(h(x)))$£ è: £$[f(g(h(x)))]’=f’(g(h(x))) \cdot g’(h(x)) \cdot h’(x)$£...e così via.

Come derivare una funzione elevata un’altra funzione

funzione composta

La regola per derivare la funzione composta è detta regola della "catena" perché derivi le funzioni componenti a partire dalla più esterna e le moltiplichi. Una particolare funzione composta da due funzioni è questa: date £$ f $£ e £$g$£, ottieni £$ [f(x)]^{g(x)} $£.
Come derivare unafunzione elevata un'altra funzione? Potresti applicare la regola di derivazione delle derivate composte, ma prima dovresti passare al logaritmo e fare alcuni passaggi algebrici, allora studiamo la regola generale per velocizzare i calcoli. La derivata di questa particolare funzione esponenziale composta è £$ \left( [f(x)]^{g(x)} \right)’=f(x)^ {g(x)} \left[ g’(x) \ln (f(x))+ \frac{g(x)f’(x)}{f(x)}\right] $£. Se, per esempio, hai le due funzioni £$f(x)=sen \ x$£ e £$g(x)=x^2$£, e la funzione £$h(x)=(sen \ x)^{x^2}$£, che ha derivata: £$h'(x)=(sen \ x)^{x^2} \cdot \left[2x \ln (sen \ x)+ \frac{x^2 \cdot cos \ x}{sen \ x} \right]$£.

Come calcolare la derivata delle funzioni inverse

Regola: come fare la derivata delle funzioni inverse

funzione inversa

Derivata arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcocotangente

funzioni goniometriche inverse

Ora che hai imparato a derivare la somma, il prodotto, il quoziente e la composizione di funzioni puoi completare il calcolo delle derivate imparando a calcolare la derivata di funzioni inverse e unendo tutte queste formule negli esercizi.
Imparare a calcolare la derivata della funzione inversa è utile quando hai funzioni come l'arcoseno o l'arcotangente, che non hanno derivata elementare ma che sono le funzioni inverse delle funzioni goniometriche elementari.
Partiamo quindi dalla formula principale: la derivata di una funzione inversa è uguale all’inverso della derivata della funzione di partenza. £$y=f(x)$£ ha inversa £$x=f^{-1}(y)$£ e la sua derivata è: £$(f^{-1}(y))’=\frac{1}{f’(x)}$£.

Partendo da questa regola trovi le derivate delle funzioni arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotangente che sono le funzioni inverse delle funzioni goniometriche seno, coseno, tangente, cotangente. Trovi tutte le formule che vuoi nella tabella delle derivate qui sopra!

Esercizi svolti sul calcolo delle derivate

Sai calcolare la derivata di una somma, di un prodotto, di un quoziente, della composizione di funzioni e di funzioni inverse. Tieni a mente tutte le formuledel calcolo delle derivate perché saranno utili per fare gli esercizi difficili in cui tutti questi calcoli si uniscono e si mischiano. Per aiutarti abbiamo svolto degli esercizi in cui ci sono le derivate di funzioni composte da somme, prodotti e quozienti di funzioni come logaritmo, seno, coseno, arcotangente e polinomi. Tutti gli esercizi sono svolti passo passo e indicando dei trucchi per semplificare il calcolo delle derivate!

Esercizi svolti Calcolo delle derivate

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