Derivate fondamentali

Cerchi le formule delle derivate fondamentali? In questa lezione trovi tutte le derivate di funzioni elementari e le loro dimostrazioni. Calcola le derivate delle funzioni potenza, seno e coseno, esponenziale e logaritmo.

2018-08-13 17:49:22

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Funzione costante


La derivata prima di una costante è nulla: £$ f(x)=c \rightarrow f'(x)=0 $£

La derivata descrive la variazione di una funzione. Se la funzione è una costante, allora non cambia, cioè ha variazione nulla, e quindi ha derivata nulla.

Funzione potenza

Le funzioni potenza sono della forma £$ f(x)=x^n $£ dove £$ n $£ è un qualsiasi numero intero o razionale (una frazione). La derivata prima di una funzione potenza è £$ f'(x)=nx^{(n-1)} $£. Per la dimostrazione della formula dobbiamo ricordare la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale.

Potenza con esponente negativo

Le funzioni £$ f(x)=\frac{1}{x} $£ o, per esempio, £$ f(x)=\frac{1}{x^3} $£ sono delle funzioni potenza con esponente negativo . Per trasformarle in funzioni potenza dobbiamo usare la proprietà delle potenze: £$ \frac{1}{x^n}=x^{-n}$£. Dopo questa trasformazione possiamo ancora applicare la regola delle funzioni potenza che conosciamo. Quindi se £$ n < 0 $£ è un numero intero o razionale (una frazione), allora la funzione £$ f(x)=x^n $£ ha derivata £$ f'(x)=n x^{(n-1)} $£

Funzione radice

Le funzioni £$ f(x)=\sqrt{x} $£ o, per esempio, £$ f(x)=\sqrt[4]{x^3} $£ sono radici, cioè funzioni potenza con una frazione come esponente . Per trasformarle in una funzione potenza con esponente frazionario dobbiamo usare la proprietà delle potenze: £$ \sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$£. Dopo questa trasformazione possiamo ancora applicare la regola delle funzioni potenza che conosciamo. Quindi se £$ n$£ è un numero razionale, cioè una frazione, allora la funzione £$ f(x)=x^n $£ ha derivata £$ f'(x)=n x^{(n-1)} $£

Seno e coseno

La derivata del seno è il coseno: £$ f(x)=sen(x) \rightarrow f'(x)=cos(x) $£. La derivata del coseno è l'opposto del seno: £$ f(x)=cos(x) \rightarrow f'(x)=-sen(x)$£. Per fare la dimostrazione delle formule delle derivate del seno e del coseno dobbiamo ricordare la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale, le formule di addizione del seno e del coseno, ed i limiti notevoli del seno e del coseno. Se l'argomento del seno o del coseno non dipendono dalla variabile £$ x $£, ma sono funzioni di una costante, allora sono anche loro delle costanti, e quindi hanno derivata nulla!

Funzione esponenziale

La funzione esponenziale è un elevamento a potenza in cui la base è un numero positivo e l'esponente dipende dalla variabile £$ x $£. Quindi, se la base è £$ a>0 $£, allora la derivata prima della funzione esponenziale £$ f(x)=a^x $£ è £$ f'(x)=a^x \ln(a) $£ Se la base è il numero di Nepero £$ e $£, allora la funzione esponenziale ha derivata uguale a se stessa: £$ f(x)=e^x \rightarrow f'(x)=e^x $£ Per la dimostrazione della regola di derivazione della funzione esponenziale usiamo la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale e il limite notevole dell'esponenziale in base £$e$£. È per questo che compare £$ f(x)=\ln (a) $£ nella formula.

Derivata del logaritmo

La funzione logaritmica: £$ f(x)=log_a (x) $£ è un logaritmo in base £$a$£ in cui l'argomento dipende da £$x$£.
La derivata di una funzione logaritmica in base £$ a $£ qualsiasi è £$ f'(x)=\frac{1}{x}log_a (e) $£.
Se la base è il numero di Nepero £$ e $£, allora la derivata del logaritmo naturale è l'inverso dell'argomento: £$ f(x)=\ln (x) \rightarrow f'(x)=\frac{1}{x} $£
Per la dimostrazione della regola di derivazione della funzione logaritmica dobbiamo ricordare la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale e il limite notevole del logaritmo naturale. È per questo che compare £$ f(x)=log_a (e) $£ nella formula.

Esercizi svolti Derivate fondamentali

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Esercizi Derivate fondamentali - 1

Esercizi Derivate fondamentali - 2

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