Introduzione alle derivate

Tutto sulle derivate: cosa sono le derivate in matematica, il significato geometrico della derivata, la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale e la spiegazione delle derivate e del loro rapporto con la funzione di partenza.

Ma a cosa servono le derivate?

Le derivate servono per capire quando una funzione è crescente, decrescente o stazionaria.

2018-08-13 17:18:59

In analisi matematica, le derivate sono definite tramite i limiti, hanno un importante significato geometrico e sono molto utili per gli integrali.

Il concetto di derivata è stato introdotto alla fine del 1600, il primo a parlarne fu Newton, ma il primo ad utilizzarle dal punto di vista geometrico fu Leibniz.

Impara tutto sulle derivate!

Dal significato geometrico della derivata prima in un punto, cioè il legame tra la derivata e il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione in un punto, alla definizione di derivata come limite del rapporto incrementale.

La derivata prima è una funzione che descrive il comportamento della funzione di partenza: ci dice se la funzione è crescente o decrescente, se ha massimi o minimi.

Se derivi la derivata prima otterrai la derivata seconda. Andando avanti così troverai tutte le derivate successive.

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Cosa sono e a cosa servono le derivate

Una funzione può essere crescente, decrescente o stazionaria.

La derivata ci dice come cambia una funzione in un intervallo o in un punto, quindi ci permette anche di stabilire quali sono i suoi punti di massimo e di minimo.

Se analizziamo la variazione della funzione in un solo punto, allora la derivata è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel punto.

Chi ha scoperto le derivate

Newton fu il primo a introdurre il concetto di derivata, intorno al 1669, per risolvere problemi come quello del calcolo della velocità istantanea in fisica, ma non pubblicò mai nulla. Liebniz invece fu il primo ad affrontare il calcolo delle derivate con un approccio geometrico.

Intorno al 1665 pubblicò le sue scoperte che, essendo più facili da capire, si diffusero velocemente in tutta Europa, prima di quelle di Newton, che non prese bene la notizia e accusò Liebniz di aver copiato le sue scoperte!

Liebniz sosteneva fermamente di essere arrivato alle sue conclusioni indipendentemente da quelle di Newton.

Per dimostrarlo, chiese alla Royal Society di Londra (Accademia Nazionale Inglese delle Scienze) di convocare una commissione d'inchiesta per risolvere la questione.

Nel 1712, Liebniz fu ufficialmente accusato di plagio. Povero Liebniz! Non era stato molto fortunato perché Newton, proprio quell'anno, aveva dalla sua il fatto di essere il presidente della Royal Society!

Qual è il significato geometrico di derivata

La derivata prima di una funzione in un punto è l’£$m$£, cioè il coefficiente angolare della retta tangente la funzione in quel punto.

Che cosa era il coefficiente angolare? Ricordiamo l’equazione esplicita della retta: £$ y=mx+q$£. £$ m $£ è il coefficiente angolare, cioè la pendenza della retta rispetto all’asse delle £$x$£.

Puoi calcolarlo se conosci due punti £$A(x_A,y_A)$£ e £$ B(x_B; y_B)$£ della retta come il seguente rapporto: £$ m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$£.

Sappiamo che non tutte le rette possono essere scritte nella forma esplicita. Le rette parallele all’asse delle £$y$£, cioè quelle verticali, non sono delle funzioni, quindi non possono essere scritte nella forma £$y=mx+q$£.

Ciò significa che la loro £$ m $£ non esiste quindi, non esiste nemmeno la derivata!

Derivata come limite del rapporto incrementale

Prendi una funzione £$f$£ definita in £$ [a,b] $£ e considera £$ c \in [a,b] $£ e £$P (c; f(c))$£ un punto qualsiasi di questa funzione.

La derivata prima della funzione £$f$£ in quel punto è il limite, se esiste, del rapporto incrementale di £$f$£ relativo a £$c$£, per £$h$£ che tende a zero:

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