Come trovare i massimi, i minimi e i flessi

La ricerca dei massimi, dei minimi e dei flessi è un punto importante dello studio di funzione. Impara il procedimento per ricercare i massimi, i minimi ed i flessi a tangente orizzontale con lo studio della monotonia della funzione, cioè studiando il segno della derivata prima. Impara a fare lo studio della concavità analizzando il segno della derivata seconda, in questo modo troverai i flessi a tangente obliqua.

2018-08-13 18:01:50

Il calcolo delle derivate e i teoremi sulle funzioni derivabili si applicano allo studio di funzione nella ricerca dei massimi, minimi e flessi.
Dopo aver impariato cosa sono i massimi e minimi relativi o assoluti e la definizione di flessi di una funzione puoi chiederti come determinare questi punti particolari del grafico.
Quale procedimento bisogna fare per trovare i massimi e minimi relativi di una funzione? Già nell'introduzione alle derivate avevamo capito che il segno della derivata prima è legato alla monotonia della funzione di partenza. Quindi nella ricerca dei massimi e minimi dovremmo imporre che la derivata prima sia maggiore o minore di zero, e analizzare questo risultato partendo dai punti in cui la derivata si annulla.
La definizione dei punti di flesso è legata alla concavità della funzione. Lo studio della concavità è legato allo studio del segno della derivata seconda.
Impara in questa lezione e nei livelli di esercizi la differenza tra i flessi a tangente verticale, orizzontale ed obliqua. Esercitati a trovare i massimi e minimi e riconosci se sono assoluti o relativi.

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Massimi e minimi assoluti e relativi

Ti sei mai chiesto quale sia la differenza tra massimi assoluti e massimi relativi di una funzione?
Il massimo è il valore più grande che una funzione assume in un intervallo. Se questo intervallo è tutto il dominio , il massimo è assoluto, se è un sottoinsieme del dominio, allora il massimo è relativo. Il minimo è il valore più piccolo che una funzione assume in un intervallo. Come per il massimo, il minimo sarà assoluto se l'intervallo è tutto il dominio della funzione, relativo se è un sottoinsieme del dominio.
In formule, questo significa che:

  1. £$ x_0$£ è un massimo assoluto se £$f(x_0) \ge f(x) \ \forall x \in D_f $£
  2. £$ x_0$£ è un minimo assoluto se £$f(x_0) \le f(x) \ \forall x \in D_f $£
  3. £$ x_0$£ è un massimo relativo se £$f(x_0) \ge f(x) \ \forall x \in I(x_0) $£
  4. £$ x_0$£ è un minimo relativo se £$f(x_0) \le f(x) \ \forall x \in I(x_0) $£.

Come trovare massimi e minimi relativi di una funzione

Per la ricerca dei massimi e minimi relativi di una funzione £$f$£ devi:

  • calcolare la derivata prima della funzione £$f'(x)$£;
  • studiare la monotonia della funzione, cioè trovare il segno della derivata prima £$f'(x) \ge 0$£:
    • i punti in cui si annulla la derivata £$f'(x)=0$£ sono i punti stazionari, cioè i candidati ad essere punti di massimo o minimo
    • in un punto stazionario:
      • se il segno della derivata passa da maggiore a minore allora il punto è un massimo relativo;
      • se il segno della derivata passa da minore a maggiore allora è un minimo relativo.
Ma siamo sicuri che possiamo fare così? Certo, grazie ai teoremi sulle funzioni derivabili. Lo studio della monotonia, cioè del segno della derivata, è una condizione sufficiente perché ci sia un massimo ed un minimo, ed è una conseguenza del teorema di Lagrange. Condizione sufficiente significa che se la derivata prima è positiva e poi negativa allora la funzione ammette un massimo o un minimo. Abbiamo la condizione necessaria dal teorema di Fermat: se una funzione è definita in £$[a,b]$£ e derivabile almeno in £$ (a,b)$£ ammette massimo (o minimo) relativo nel punto £$ x_0$£, allora £$ f’(x_0)=0 $£. Questo teorema esprime una condizione necessaria, ma non sufficiente. Questo significa che, se la funzione ammette massimo o minimo relativo in £$ x_0 $£, allora sicuramente £$ f’(x_0)=0 $£. Ma non è detto che se £$ f’(x_0)=0 $£ sicuramente la funzione ammette un massimo o un minimo relativo in £$ x_0 $£.

Flessi di una funzione e derivata seconda

Un punto di flesso di una funzione è quel punto in cui cambia la concavità. Per la ricerca dei flessi a tangente obliqua di una funzione devi:

  • calcolare la derivata seconda della funzione £$f''(x)$£;
  • studiare la concavità della funzione, cioè studiare il segno della derivata seconda £$ f''(x) \ge 0 $£:
    • i punti in cui si annulla la derivata seconda £$f''(x)=0$£ sono i candidati ad essere punti di flesso a tangente orizzontale;
    • se la derivata seconda cambia di segno in un intorno di questi punti, allora sono dei punti di flesso a tangente orizzontale.

C’è un’analogia tra i teoremi usati per la ricerca dei massimi e minimi relativi e quelli usati per la ricerca dei flessi. Infatti la condizione necessaria dice che la funzione deve essere definita e derivabile due volte, e se ha un punto di flesso, allora la derivata seconda si annulla in quel punto. La condizione sufficiente invece ci dice che se la derivata seconda passa da positiva a negativa (o viceversa) in un intorno del punto, allora quello è un punto di flesso.
Siccome la derivata è a sua volta una funzione, osserviamo che
i flessi sono i massimi e minimi relativi della funzione derivata prima. I flessi a tangente orizzontale sono particolari flessi a tangente obliqua, possiamo quindi trovarli studiando la derivata seconda, oppure studiando la derivata prima. Sono infatti quei punti stazionari in cui la derivata prima non cambia di segno. I flessi a tangente verticale invece sono quelli in cui le derivate destra e sinistra nel punto tendono a infinito dello stesso segno.

Come passare dal grafico della funzione a quelli delle derivate

Cosa ci dice il grafico di una funzione £$f$£ se lo confrontiamo con il grafico delle sue derivate prima e seconda? Studiamo i grafici di una funzione, della sua derivata prima e della derivata seconda e osserviamo che:

  • i punti di massimo o minimo della funzione £$ f $£ sono zeri della sua derivata £$ f’ $£
  • i punti di flessodella funzione £$ f $£ sono i massimi e minimi della funzione derivata £$ f’ $£ e zeri di f’’
  • dove la funzione £$ f $£ cresce, la sua derivata è positiva. Viceversa, dove £$ f $£ decresce, £$ f’ $£ è negativa.
  • dove £$ f $£ ha la concavità verso l’alto, £$ f’ $£ cresce, mentre dove £$f$£ ha la concavità verso il basso £$f’$£ decresce.
Fare questo confronto non è semplice, ma è utile per fare uno studio di funzione più consapevole ed evitare gli errori!

Esercizi svolti Come trovare i massimi, i minimi e i flessi

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