Spiegare gli insiemi ad una principessa

25 gen 2016

spiegare gli insiemi

Spiegare gli insiemi ad una principessa? Come spiegare gli insiemi? Gli insiemi sono stati utilizzati per la prima volta da Eulero per spiegare dei concetti di logica ad una principessa. In seguito, John Venn ha introdotto i simboli che ancora oggi utilizziamo.

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Come spiegare gli insiemi?

Per spiegare gli insiemi dobbiamo partire dalla definizione di insieme!

In matematica, un insiemeè una collezione di elementi che hanno una proprietà in comune. Questa caratteristica deve essere oggettiva, cioè deve essere valida per tutti. Trovi la video lezione qui.
Esempi:

  • “Tutti i mammiferi” formano un insieme: hanno in comune la caratteristica di essere dei mammiferi
  • “Tutti i bambini più simpatici di Piero” invece non formano un insieme: la simpatia è una caratteristica soggettiva, non oggettiva. Piero può essere più simpatico ad alcuni e meno simpatico ad altri.

Ogni volta che si parla di insiemi si pensa ai diagrammi di Eulero-Venn, alla rappresentazione di Eulero-Venn.

Sai che Eulero e Venn sono vissuti in due epoche diverse? Nel 1700 Eulero parlava degli insiemi e della loro rappresentazione scrivendo alcune lettere ad una principessa tedesca. Sono delle lezioni impartite per corrispondenza a una delle più nobili dame della corte di Federico II di Prussia. Le Lettere abbracciano i più disparati campi della fisica: meccanica, elettricità, magnetismo, astronomia, ottica. Nel 1800 Venn riprese i concetti di Eulero e introdusse i simboli che ora utilizziamo!

Come rappresentare gli insiemi?

Per spiegare gli insiemi è importante sapere come rappresentarli!
Esistono diversi modi per rappresentare un insieme:

  • Rappresentazione grafica: con il diagramma di Eulero-Venn scriviamo tutti gli elementi di un insieme all’interno di una linea chiusa non intrecciata;
  • Rappresentazione per elencazione (o tabulare): elenchiamo tutti gli elementi tra parentesi graffe, separati da una virgola.
    Esempio: la rappresentazione per elencazione dell’insieme A delle vocali è A={a,e,i,o,u}
  • Rappresentazione per caratteristica: descriviamo la proprietà comune a tutti gli elementi dell’insieme. Questo tipo di rappresentazione è comodo per gli insiemi più grandi.
    Esempio:B={x|x è un capoluogo di provincia italianoche si legge: B è l’insieme di tutte le x tali che x è un capoluogo di provincia italiano.

Un elemento appartiene ad un insieme se rispetta la proprietà comune a tutti gli elementi. Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme utilizziamo il simbolo .
Esempio: Se A={a,e,i,o,u} e B={x|x è un capoluogo di provincia italiano}, possiamo dire che aA, che si legge appartiene all’insieme A, ma aB, cioè a non appartiene all’insieme B, perché non è un capoluogo di provincia italiano.

Quali sono i tipi di insiemi?

Per spiegare gli insiemi è importante conoscere un po’ di terminologia.

L’ insieme universo è quello in cui fare le considerazioni su un insieme specifico: è l’insieme che contiene tutto! Cioè è l’insieme da cui ricaviamo l’insieme che vogliamo considerare!
Esempio: Se A={x|x è un pesce} qual è l’insieme universo da cui lo abbiamo ritagliato? Può essere l’insieme U={x|x è un animale} oppure l’insieme U={x|x è un animale che vive nell’acqua}.

L’insieme universo è molto importante per determinare l’insieme complementare. Puoi costruire i sottoinsiemi di un insieme qualsiasi oppure dell’insieme universo stesso.
Gli insiemi possono contenere gli stessi elementi, quindi sono insiemi uguali, oppure non contenere alcun elemento: in questo caso si parla di insieme vuoto.
Esempio:B={x|x è un pesce a 6 zampe} è un insieme vuoto: non esistono pesci con 6 zampe!

Due insiemi sono uguali se contengono gli stessi elementi.
Esempio:A= {cane, gatto, topo} è uguale a B={topo, cane, gatto}. Anche se gli elementi sono in ordine diverso, sono gli stessi in entrambi gli insiemi.

Un insieme A è sottoinsieme di B se tutti gli elementi di sono anche elementi di B. Indichiamo un sottoinsieme così: AB.
Esempio:A= {cane, gatto, topo} e B={x|x è un mammifero}. Il cane, il gatto ed il topo sono mammiferi, quindi tutti gli elementi di A sono anche elementi di B. Allora AB.

Consideriamo un insieme universo U e due insiemi A e B. Diciamo che A e B sono insiemi complementari se contiene tutti gli elementi di U che non appartengono ad A e scriviamo B=A.
Esempio:U={cane, gatto, topo, mucca, pecora, asino}. Se A={cane, gatto, topo}, allora A={mucca, pecora, asino}.

Curiosi di sapere di più? Guardate la video lezione sulle operazioni con gli insiemi e allenatevi con gli esercizi svolti di redooc sugli insiemi!

Sono online le prime video lezioni e gli esercizi svolti e con spiegazione di Aritmetica e Algebra e di Geometria del primo e secondo anno della matematica della Scuola Media:

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