3 metodi semplici e veloci per disegnare una parabola

18 mar 2015

Parabola, equazioni e disequazioni di secondo grado … Scegli i valori interni o quelli esterni? Quale è l’ equazione della parabola con asse di simmetria sull’asse \( y \) e vertice nell’origine? Vuoi sapere cosa sono il vertice, il fuoco, l’asse di simmetria e la direttrice di una parabola?
Le domande sulla parabola si moltiplicano all’infinito (eheh!)…Ma una soluzione c’è.
Quindi la prima cosa da fare per risolvere un problema con la parabola è disegnarla!
Ecco i tre metodi principali per disegnare una parabola e risolvere tutti i tuoi problemi:

1. Metodo grafico

Il primo passo per risolvere un problema con la parabola è disegnarla. Non ce n’è.
La matematica se astratta fa paura come la scena del film dell’orrore quando il protagonista è al buio e non sai dov’è l’assassino. Accendi la luce…e disegna la parabola!

Come fare

Per orientarti nei meandri dello spazio matematico qualcuno ha inventato la mappa chiamata anche piano cartesiano (ed è meglio di un navigatore, credimi!). La prima cosa da fare per capire come muoversi è sapere dove sei. Quindi devi sapere dove sono i punti della parabola, ossia quali sono le coordinate, nel piano cartesiano. Si possono risolvere anche le disequazioni di secondo grado attraverso la scomposizione o l’interpretazione grafica.

Per esempio prendi l’equazione della tua parabola: \( y =ax^2+bx+c \) e sostituisci alla \( x \) un valore, così facendo troverai subito la \( y \). Poi ripeti: scegli un altro valore di \( x \) e ne troverai un altro di \( y \). E vai avanti così fino a che non hai abbastanza punti, se può esserti utile inseriscili tutti in una tabella! Unisci i punti e il gioco è fatto!

2. Metodo algebrico

Come sai bene la parabola è una figura caratterizzata da questi elementi chiave:

• un vertice;
• un asse di simmetria;
  
• un punto chiamato fuoco;
  
• una retta chiamata direttrice.

Come fare

Per disegnare una parabola, quando conosci la sua equazione \( y =ax^2+bx+c \), sono sufficienti:

• il vertice, cioè il punto più basso se \(a>0\), il punto più alto se \(a<0\), che ha coordinate \( V \left(-\frac{b}{2a};−\frac{Δ}{4a} \right)\);
• l’asse di simmetria (quello che fa da “specchio” ai due rami della parabola) che ha equazione \( x=-\frac{b}{2a}\);
• trovare altri due punti per esempio con il metodo grafico

Non ti serve sapere altro per disegnare la parabola e cominciare ad analizzarla. ;)

3. Metodo funzionale

Adesso vedi l’equazione della parabola come una funzione polinomiale quadratica, tranquillo, il nome fa paura ma è sempre la stessa cosa \(y=f(x)=ax²+bx+c\), che è un polinomio ed è una funzione quadratica perché ha grado 2.

Come fare

Prendi la tua funzione \(y=f(x) =ax²+bx+c\). Sai che rappresenta una parabola e sai che il vertice è il punto dove la \( y \) è massima (se \(a<0\)) o minima (e \(a>0\)). Sai che nello studio di funzione il massimo e minimo si calcolano con la derivata!

Puoi quindi calcolare il vertice con lo studio del segno della derivata prima:

• dove la derivata è nulla trovi il punto stazionario, quello candidato ad essere massimo o minimo;
• se la derivata è crescente prima del punto stazionario e decrescente dopo, si ha un massimo;
• se la derivata è decrescente prima del punto stazionario e crescente dopo si ha un minimo.

La derivata prima della tua funzione è \(y’=2ax+b\) ed è uguale a zero se \( x= \frac{-b}{2a} \)! Che è proprio l’ascissa del vertice che avevamo già trovato con il metodo algebrico!!!
Ora ragiona sulle simmetrie ed il tuo disegno è presto fatto!

E in fisica ti è mai capitato di disegnare una parabola? Se vuoi approfondire le tue conoscenze sul moto parabolico guarda le risorse per studenti di Indire  ;)