4 metodi di risoluzione delle equazioni esponenziali

25 mar 2015

Un’equazione si dice esponenziale quando l’incognita compare all’esponente.
Un metodo di risoluzione abbastanza semplice da usare è trasformare il primo e il secondo membro dell’equazione in potenze con la stessa base. In questo modo, l’uguaglianza tra le potenze è equivalente all’uguaglianza degli esponenti.
Esistono però anche altri metodi per risolvere un’equazione esponenziale, eccoli tutti.

1. Equazioni esponenziali elementari

Vale a dire la tipologia di equazioni esponenziali della forma \( a^{f(x)}=b \) con \( a \) numero reale positivo diverso da 0 e da 1 ed \( f(x) \) funzione polinomiale nella variabile \( x \); termine complicato per dire che \( f(x) \) può essere qualsiasi polinomio.
Ricordando che la funzione esponenziale è sempre positiva, l’equazione esponenziale \( a^{f(x)}=b \) sarà:

• impossibile se \( b≤0 \)
• determinata se \( b>0 \)

In quest’ultimo caso sarà possibile trovare le soluzioni scrivendo b come potenza di a, ovvero riconducendo alla forma \( a^{f(x)}=a^k \) con \( b=a^k \) e a questo punto, uguagliare gli esponenti.

Ad esempio:
\( 6^x=36 \) Sappiamo che 36 è uguale al quadrato di 6
\( 6^x=6^2 \)
\( x=2 \)

Guarda la lezione per approfondire le equazioni esponenziali.

2. Equazioni esponenziali risolvibili con i logaritmi

Una volta che ti sei ricondotto alla forma \( a^{f(x)}=b \), se non riesci a scrivere \( b \) come potenza di \( a \) , l’unico modo per uscirne è usare il logaritmo.

Ricorda che:
\( a^{f(x)}=b \) \(⇔\) \( f(x)=log_a(b) \)
Se hai già studiato i logaritmi, sai come risolverla…e se non ti ricordi, non ti preoccupare e guarda qui!

Ad esempio:
\( 2^{x+1} \cdot 5^{x-1}=2 \cdot 3^x \) applica il logaritmo ad entrambi i membri
\(\log (2^{x+1} \cdot 5^{x-1})= \log (2 \cdot 3^x) \) usa le proprietà dei logaritmi
\((x +1) \log 2 + (x-1) \log 5 = \log2 + x \log 3 \) svolgi le moltiplicazioni
\(x \log 2 + \log 2 + x \log 5 – \log 5 = \log 2 + x \log 3 \) raccogli la \( x \)
\(x (\log 2 + \log 5 – \log 3) = \log 5 \)
\(x = \frac {\log5} {(1 – log3)} \)

3. Equazioni esponenziali per sostituzione

Nel caso in cui ti trovi davanti ad un’equazione esponenziale dall’aspetto complicato, in cui compaiono somme e differenze tra più esponenziali, applica il metodo di sostituzione.
Sostituisci il termine esponenziale che si ripete con una nuova variabile.

Ad esempio:
\( 2^{1-x} \cdot 2^{x+1}=4 \)
\( \frac{2}{2^x} +2^x \cdot 2=4 \) sostituisci \( y=2^x \)
\( \frac{2}{y} + y \cdot 2 = 4 \)
\( 2 + 2y^2 – 4y = 0 \) dividiamo tutto per 2
\( y^2 – 2y + 1 = 0 \Leftrightarrow (y – 1)^2 = 0 \) che ha soluzione \( y = 1 \)
Risostituisci la \( x \) e trovi: \( y = 2^x = 1 \\ x = 0 \)

4. Equazioni esponenziali con il metodo grafico

Se hai un’equazione esponenziale del tipo:
\( a^{f(x)}=g^{x} \)
ovvero un’equazione in cui l’incognita non compare solo all’esponente, l’unico modo è procedere con il metodo grafico.

Devi scrivere l’equazione come un sistema:
\(
\begin{cases}
y = a^{f(x)} \\
y = g^{(x)} \\
\end{cases} \)
e tracciare il grafico delle curve \( a^{f(x)} \) e \( y=g^{(x)} \)