4 metodi di risoluzione delle equazioni esponenziali

La sfida

Tornato dalla spesa per la grigliata ti accorgi di aver dimenticato le arance per l’aperitivo!
Fai un salto al fruttivendolo sotto casa. Dopo l’acquisto non sei sicuro di aver fatto un buon affare . Nel supermercato in cui sei stato c’era un’offerta limitata, più sacchetti prendevi più risparmiavi: per \( x \) sacchetti, il prezzo è \( 4 + 2^{2-x} \) € l’uno.
Dal fruttivendolo, invece, paghi \( x \) sacchetti di arance \( 2^{3-x} – 2 \) € l’uno.
Quanti sacchetti avresti dovuto comprare, per essere sicuro di spendere esattamente quanto avresti speso al supermercato?

Un’equazione si dice esponenziale quando l’incognita compare all’esponente.
Un metodo di risoluzione abbastanza semplice da usare è trasformare il primo e il secondo membro dell’equazione in potenze con la stessa base. In questo modo, l’uguaglianza tra le potenze è equivalente all’uguaglianza degli esponenti.
Esistono però anche altri metodi per risolvere un’equazione esponenziale, eccoli tutti.

1. Equazioni esponenziali elementari

Vale a dire la tipologia di equazioni esponenziali della forma \( a^{f(x)}=b \) con \( a \) numero reale positivo diverso da 0 e da 1 ed \( f(x) \) funzione polinomiale nella variabile \( x \); termine complicato per dire che \( f(x) \) può essere qualsiasi polinomio.
Ricordando che la funzione esponenziale è sempre positiva, l’equazione esponenziale \( a^{f(x)}=b \) sarà:

impossibile se \( b≤0 \)
determinata se \( b>0 \)

In quest’ultimo caso sarà possibile trovare le soluzioni scrivendo b come potenza di a, ovvero riconducendo alla forma \( a^{f(x)}=a^k \) con \( b=a^k \) e a questo punto, uguagliare gli esponenti.

Ad esempio:
\( 6^x=36 \) Sappiamo che 36 è uguale al quadrato di 6
\( 6^x=6^2 \)
\( x=2 \)

Guarda la lezione per approfondire le equazioni esponenziali.

2. Equazioni esponenziali risolvibili con i logaritmi

Una volta che ti sei ricondotto alla forma \( a^{f(x)}=b \), se non riesci a scrivere \( b \) come potenza di \( a \) , l’unico modo per uscirne è usare il logaritmo.

Ricorda che:
\( a^{f(x)}=b \) \(⇔\) \( f(x)=log_a(b) \)
Se hai già studiato i logaritmi, sai come risolverla…e se non ti ricordi, non ti preoccupare e guarda qui!

Ad esempio:
\( 2^{x+1} \cdot 5^{x-1}=2 \cdot 3^x \) applica il logaritmo ad entrambi i membri
\(\log (2^{x+1} \cdot 5^{x-1})= \log (2 \cdot 3^x) \) usa le proprietà dei logaritmi
\((x +1) \log 2 + (x-1) \log 5 = \log2 + x \log 3 \) svolgi le moltiplicazioni
\(x \log 2 + \log 2 + x \log 5 – \log 5 = \log 2 + x \log 3 \) raccogli la \( x \)
\(x (\log 2 + \log 5 – \log 3) = \log 5 \)
\(x = \frac {\log5} {(1 – log3)} \)

3. Equazioni esponenziali per sostituzione

Nel caso in cui ti trovi davanti ad un’equazione esponenziale dall’aspetto complicato, in cui compaiono somme e differenze tra più esponenziali, applica il metodo di sostituzione.
Sostituisci il termine esponenziale che si ripete con una nuova variabile.

Ad esempio:
\( 2^{1-x} \cdot 2^{x+1}=4 \)
\( \frac{2}{2^x} +2^x \cdot 2=4 \) sostituisci \( y=2^x \)
\( \frac{2}{y} + y \cdot 2 = 4 \)
\( 2 + 2y^2 – 4y = 0 \) dividiamo tutto per 2
\( y^2 – 2y + 1 = 0 \Leftrightarrow (y – 1)^2 = 0 \) che ha soluzione \( y = 1 \)
Risostituisci la \( x \) e trovi: \( y = 2^x = 1 \\ x = 0 \)

4. Equazioni esponenziali con il metodo grafico

Se hai un’equazione esponenziale del tipo:
\( a^{f(x)}=g^{x} \)
ovvero un’equazione in cui l’incognita non compare solo all’esponente, l’unico modo è procedere con il metodo grafico.

Devi scrivere l’equazione come un sistema:
\(
\begin{cases}
y = a^{f(x)} \\
y = g^{(x)} \\
\end{cases} \)
e tracciare il grafico delle curve \( a^{f(x)} \) e \( y=g^{(x)} \)