L’algebra secondo Redooc: risolvere un’equazione lineare con i principi di equivalenza

7 mag 2014

Chiarito cosa sono le equazioni  la faccenda comincia a complicarsi… ma questo, alcuni dicono, è il bello della matematica e dell’algebra!

Per fortuna oggi parliamo di soluzioni di equazioni lineari!
I valori che rendono vera l’uguaglianza si chiamano soluzioni dell’equazione. Diciamo che questi valori “soddisfano” o “verificano” l’equazione.
Un’equazione può avere soluzione in un insieme (ad esempio, la soluzione è un numero razionale, cioè una frazione), ma non in un insieme più ristretto (ad esempio, non ha soluzioni in N).
Di solito cerchiamo le soluzioni nell’insieme R dei numeri reali.
Per verificare se la soluzione è corretta basta sostituirla nel testo originale dell’equazione e vedere se l’uguaglianza è verificata. Facile, no?
Due o più equazioni contenenti la stessa incognita sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Ad esempio, le equazioni 4x=8 e 2x=4 sono equazioni equivalenti perché la soluzione di entrambe è x=2.

Per risolvere un’equazione la trasformiamo (n volte) in una equivalente, via via più semplice.
Le regole di trasformazione si chiamano principi di equivalenza, che sono due.
Il 1° Principio di equivalenza dice che possiamo trasformare l’equazione in una equivalente aggiungendo o sottraendo a entrambi i membri uno stesso numero o una stessa espressione.
Il 1° principio di equivalenza permette quindi, data un’equazione, di:

• Trasportare: otteniamo una equazione equivalente se trasportiamo un termine da un  membro all’altro (cioè da destra a sinistra dell’uguale o viceversa), cambiandolo di segno.
• Cancellare: otteniamo una equazione equivalente se cancelliamo in entrambi i membri i termini uguali. 

Il 2° Principio di equivalenza dice che possiamo trasformare l’equazione in una equivalente moltiplicando o dividendo entrambi i membri per uno stesso numero, o una stessa espressione, ≠ da 0.
Il 2° principio di equivalenza permette quindi, data un’equazione, di:

• Cambiare segno: otteniamo una equazione equivalente se cambiamo segno a tutti i termini di un’equazione perché equivale a moltiplicare entrambi i membri per -1
• Dividere per un fattore comune (diverso da 0): otteniamo una equazione equivalente se dividiamo tutti i termini di un’equazione per un fattore comune a tutti.

Quindi l’equazione serve per trovare il valore di un’incognita: di un dato che non conosco… per risolvere un’equazione la trasformiamo attraverso l’applicazione di alcuni principi di equivalenza che facilitano e velocizzano i calcoli… ma è meglio capirli bene, così non li scordiamo più e soprattutto non li applichiamo facendo errori!

Raccontata così, finalmente la matematica si capisce, serve davvero a qualcosa… e si scopre di non essere negati! Grazie Redooc!