Calcolo delle derivate

20 lug 2015

In questo post trovi tutto sul calcolo delle derivate. Derivata di una somma, di un prodotto, di un quoziente di funzioni. Derivata di un prodotto per una costante, di funzioni composte, esponenziali e inverse. Impara le formule del calcolo delle derivate riportate nella tabella in fondo al post.

Derivata del prodotto di una funzione per una costante

Capiterà raramente di dover derivare una funzione fondamentale da sola.
Nei problemi troverai principalmente “combinazioni” delle funzioni fondamentali, ossia funzioni fondamentali legate dalle operazioni che conosci: la somma e la sottrazione, il prodotto ed il quoziente, la composizione di funzioni ecc.
Cosa succede in questi casi?
A volte la derivata di una queste “combinazioni” è uguale alla stessa combinazione delle funzioni di partenza. Per esempio la derivata della somma di due funzioni è funzioni è uguale alla somma delle derivate:
\( f(x) = g (x) + h (x) \Rightarrow f'(x) = g'(x) + h'(x) \)
Ma purtroppo non è sempre così e, per esempio, non è vero che il prodotto (o il quoziente) di due funzioni è il prodotto (o il quoziente) delle loro derivate.

Quali sono quindi le regole da seguire? Ricaviamole insieme applicando la definizione di derivata!

Funzione
\( f(x) = c \cdot g(x) \)
Derivata
\( f'(x) = c \cdot g'(x) \)

Derivata della somma di funzioni

La funzione \( f(x)\) è uguale alla somma di altre due funzioni \(g(x)\) e \( s(x) \).
Funzione
\( f(x) = g(x) + s(x) \)
Derivata
\( f'(x) = g'(x) + s'(x) \)

Guarda tutti gli esercizi svolti e spiegati alla lezione Calcolo delle derivate.

Derivata del prodotto di funzioni

La funzione \( f(x)\) è uguale al prodotto di altre due funzioni \(g(x)\) e \( s(x) \).

Funzione
\( f(x) = g(x) s(x) \)
Derivata
\( f'(x) = g'(x) s(x) + g(x) s'(x)\)

Derivata del quoziente di funzioni

La funzione \( f(x)\) è uguale al quoziente di altre due funzioni \(g(x)\) e \( s(x) \).

Funzione
\( f(x) = \frac{N(x)}{D(x)} \)
Derivata
\( f(x) = \frac{N'(x)D(x) – N(x)D'(x)}{[D(x)]^2} \)

Derivata di funzioni composte

La funzione \( f(x)\) è uguale alla composta di altre due funzioni \(g(x)\) e \( s(x) \).

Funzione
\( f(x) = g( s(x)) \)
Derivata
\( f'(x) = g'( s(x))s'(x)\)

Guarda tutti gli esercizi svolti e spiegati alla lezione Calcolo delle derivate.

Particolari funzioni esponenziali

Funzione
\( f(x) = [g( s(x)]^{s(x)} \)
Derivata
\( f'(x) = [g( s(x)]^{s(x)} \biggl[ s'(x) ln (g(x)) \, + \frac{s(x)g'(x)}{g(x)} \biggl] \)

Derivata di funzioni inverse

Funzione
\( x = f^{-1}(y) \)
Derivata
\( (f^{-1}(y))’ = \frac{1}{f'(x)} \)

Calcolo delle derivate