Come iniziare lo studio di funzione 22 apr 2015

funzione

La sfida

L’app che controlla l’apertura delle altre applicazioni ha altre utili funzionalità. Ad esempio riporta in un grafico il consumo di batteria (in percentuale)… in funzione del tempo (in secondi)… in cui una certa applicazione rimane aperta (e inutilizzata).
Osservando il grafico relativo al consumo di batteria causato da Facebook, viene fuori una curva che, analiticamente, è descritta da questa funzione:

\(y= \frac{ \sqrt { x^2 – 4x}}{ \sqrt [4]{x}}\)
Qual è il dominio di questa funzione?

 

I 3 passi fondamentali per cominciare lo studio di funzione:

1. Definizione di funzione

Una funzione è una relazione tra due insiemi A e B che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.
Una funzione è definita con le lettere minuscole, ad esempio \( f \).

Per approfondire la definizione di funzione, le funzioni numeriche e  le funzioni definite a tratti guarda la lezione.

2. Dominio di una funzione

Studiare il dominio di una funzione significa trovare l’insieme dei valori che può assumere la variabile \(x \) in modo che esista la sua immagine \( y = f(x) \).
Per le funzioni numeriche, significa trovare le C.E dell’espressione di \( f \).

Esempio
\( y = \frac {x-1}{x+3}\)
Controlliamo che il denominatore sia diverso da zero.
Quindi \( C.E: x ≠ – 3 \).
Il dominio della funzione è l’insieme \( D_f = (- \infty, -3) \cup(-3, – \infty)\)

3. Trovare gli zeri e studiare il segno della funzione

Quali sono gli zeri della funzione? Cioè per quali \( x\) la funzione è \( = 0 \)?
Quel è il segno della funzione? Cioè per quali \(x \) la funzione è \( > 0\) o \(<0\)?
Puoi rispondere ad entrambe le domande risolvendo la disequazione:
\( f (x) \geq 0 \)
Ricordati di intersecare le soluzioni della disequazione \( f (x) \geq 0 \) con il dominio \( D_f \)

Esempio:

\(y= \frac{\sqrt {4 – x^2}}{x^2 – 1}\)
ricaviamo il dominio del sistema
C.E. \(\begin{cases} 4  –  x^2 ≥ 0 \\x^2 -1 ≠ 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -2 ≤ x ≤ 2 \\x ≠  -1 \wedge x ≠ 1 \end{cases} \)
cioè \( D_f = [-2;2] \{-1,1\}\)
Ora il segno: se \( x \in D_f \) allora \( \sqrt {4 – x^2} \ge 0\) e quindi basta studiare il segno del denominatore
\( f(x) \ge 0 \Rightarrow x < – 1 \vee x > 1 \)
ora devi intersecare con il dominio. Il segno di \( f \):

  • positivo se \( – 2 < x < – 1\vee 1 < x < 2 \)
  • negativo se \( – 1 < x < 1 \)
  • zero se \( x= – 2 \vee x = 2 \)

Se sei curioso di sapere come finisce la sfida…vai qui!