Come iniziare lo studio di funzione

22 apr 2015

I 3 passi fondamentali per cominciare lo studio di funzione:

1. Definizione di funzione

Una funzione è una relazione tra due insiemi A e B che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.
Una funzione è definita con le lettere minuscole, ad esempio \( f \).

Per approfondire la definizione di funzione, le funzioni numeriche e  le funzioni definite a tratti guarda la lezione.

2. Dominio di una funzione

Studiare il dominio di una funzione significa trovare l’insieme dei valori che può assumere la variabile \(x \) in modo che esista la sua immagine \( y = f(x) \).
Per le funzioni numeriche, significa trovare le C.E dell’espressione di \( f \).

Esempio
\( y = \frac {x-1}{x+3}\)
Controlliamo che il denominatore sia diverso da zero.
Quindi \( C.E: x ≠ – 3 \).
Il dominio della funzione è l’insieme \( D_f = (- \infty, -3) \cup(-3, – \infty)\)

3. Trovare gli zeri e studiare il segno della funzione

Quali sono gli zeri della funzione? Cioè per quali \( x\) la funzione è \( = 0 \)?
Quel è il segno della funzione? Cioè per quali \(x \) la funzione è \( > 0\) o \(<0\)?
Puoi rispondere ad entrambe le domande risolvendo la disequazione:
\( f (x) \geq 0 \)
Ricordati di intersecare le soluzioni della disequazione \( f (x) \geq 0 \) con il dominio \( D_f \)

Esempio:

\(y= \frac{\sqrt {4 – x^2}}{x^2 – 1}\)
ricaviamo il dominio del sistema
C.E. \(\begin{cases} 4  –  x^2 ≥ 0 \\x^2 -1 ≠ 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -2 ≤ x ≤ 2 \\x ≠  -1 \wedge x ≠ 1 \end{cases} \)
cioè \( D_f = [-2;2] \{-1,1\}\)
Ora il segno: se \( x \in D_f \) allora \( \sqrt {4 – x^2} \ge 0\) e quindi basta studiare il segno del denominatore
\( f(x) \ge 0 \Rightarrow x < – 1 \vee x > 1 \)
ora devi intersecare con il dominio. Il segno di \( f \):

• positivo se \( – 2 < x < – 1\vee 1 < x < 2 \)
• negativo se \( – 1 < x < 1 \)
• zero se \( x= – 2 \vee x = 2 \)