Come risolvere i logaritmi

La sfida

Al Museo della Scienza e della Tecnica di Berlino c’è la possibilità di entrare gratis!
Devi solo semplificare l’espressione:
\(5log_a 3 + 4log_a x + \frac{4}{3}log_a y – \frac{1}{3}log_a z\)

Per sapere come risolvere i logaritmi devi prima conoscerli!

1. Definizione di logaritmo

\(x=log_a\,b\)
Il numero \(a\) si chiama base del logaritmo, mentre \(b\) è il suo argomento.
Il logaritmo di un numero è l’esponente \(x\) a cui elevare la base \(a\) per ottenere l’argomento \(b\) ovvero \(a^x=b\).

Nota bene:

la base \(a\) deve essere positiva: \(a>0\)
la base \(a\) deve essere diversa da \(1\): \(a≠1\)

Attenzione! Il logaritmo di numeri negativi non esiste!

Adesso che hai capito come funzionano i logaritmi, non avrai più problemi. Per la scuola però può esserti d’aiuto approfondire la lezione sui logaritmi.

2. Proprietà dei logaritmi

i. La proprietà del prodotto

Il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi: \(log_a(b_1 \cdot b_2)=log_ab_1+log_ab_2\) con \(b_1>0 \wedge b_2>0\).

ii. La proprietà del quoziente

Il logaritmo di un quoziente è la differenza dei logaritmi: \(log_a \frac{b_1}{b_2}=log_ab_1-log_ab_2\) con \(b_1>0 \wedge b_2>0\).

iii. La proprietà della potenza

Il logaritmo di un numero elevato ad una costante è uguale a quella costante moltiplicata per il logaritmo del numero: \(log_ab^k=klog_a b\) con \(b>0\).

iv. Le proprietà elementari

Il logaritmo di \(1\) è \(0\): \(log_a 1=0\).
Il logaritmo in base \(a\) di \(a\) è \(1\): \(log_a\,a=1\)

Ti può essere utile ripassare tutte le proprietà delle potenze. ;)

3. Formula del cambiamento di base

Per trovare il logaritmo di \(b\) in una base \(a\) qualsiasi, puoi usare la formula del cambiamento di base: \(log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}\)
Le basi più comuni e più importanti sono la base \(10\) e la base \( e \simeq 2,71828… \). Basta conoscere i logaritmi in queste basi (anzi, in una sola) per poter ottenere tutti gli altri!

Ora sei pronto per risolvere i logaritmi

È possibile avere le tavole dei logaritmi di tutti i numeri rispetto a tutte le basi possibili?
Sarebbe come se la tua calcolatrice potesse avere infiniti tasti per i logaritmi, uno per ogni possibile base! Guarda come sarebbe la tavola dei logaritmi in base 10.
Le calcolatrici di solito hanno solo due tasti per i logaritmi:

Il tasto \( log \) calcola i logaritmi decimali, cioè quelli con base \( a=10 \)
Il tasto \( ln \) calcola invece i logaritmi neperiani o naturali, che hanno base \( a=e \)

Come risolvere i logaritmi – Esempio 1

Quanto vale \(log_{\frac{1}{3}} 27 \) ?
Basta pensare alla definizione: il logaritmo di un numero è l’esponente da dare alla base, che qui è \( \frac{1}{3} \), per ottenere l’argomento, che qui è \(27\).
Allora, dato che \( 27 = 3^3 \), trovi che \( \left( \frac{1}{3} \right)^{-3} = 27 \), cioè \(log_{\frac{1}{3}} 27 = -3 \).

Come risolvere i logaritmi – Esempio 2

E se compare un’incognita all’argomento come in questo caso \(log_5 x=3\) ?
Prima di tutto imponi che \(x>0\) perché non esistono i logaritmi di numeri negativi.
Poi pensa alla definizione: il logaritmo (cioè \(3\)) è l’esponente da dare alla base (qui il \(5\)) per ottenere l’argomento (l’incognita).
Allora \( x=5^3=125\)

Ma come ci siamo arrivati?
Per scoprirlo guarda tutta la lezione sulle equazioni logaritmiche!