Come risolvere le disequazioni di secondo grado

18 mag 2015

disequazioni

La sfida

Organizzando il party leggendario ti accorgi che devi fare un po’ di conti.
Avevi stanziato un budget iniziale di \(x\) euro.
Hai fatto in modo di ricavare con gli inviti il quadrato del budget.
Ti sei trovato però a spendere il doppio di quello che pensavi!
Fortuna che i tuoi ti hanno dato 50 euro…
In quali casi ci perdi?

 

Come risolvere le disequazioni di secondo grado

Risolvere le disequazioni di secondo grado significa trovare gli intervalli che costituiscono la soluzione.
Se scomponi il polinomio in un prodotto puoi studiare il segno dei singoli fattori e poi risolvere la disequazione.
E se non riesci a scomporre il polinomio?
Puoi risolvere le disequazioni di secondo grado utilizzando l’interpretazione grafica.

Come risolvere le disequazioni di secondo grado con l’interpretazione grafica

Per risolvere le disequazioni di secondo grado utilizzando l’interpretazione grafica, devi:

  • scrivere la disequazione nella forma \(ax^2+bx+c < (>, ≥…)0 \);
  • prendere la parabola associata \( y=ax^2+bx+c\);
  • disegnare la parabola stabilendo almeno due cose:
    • la concavità (verso l’alto se \(a>0\), verso il basso se \(a<0\))
    • le intersezioni con l’asse delle \(x\).

Per semplicità, puoi sempre ricondurti al caso \(a>0\), cambiando tutti i segni dei termini del polinomio e il verso della disequazione.
Le intersezioni con l’asse delle \(x\) corrispondono alle soluzioni di \(ax^2+bx+c=0\).
A questo punto puoi fare un disegno (indicativo) della parabola e per risolvere la disequazione devi stabilire per quali valori di \(x \) la parabola si trova:

  • sopra l’asse delle ascisse \((ax^2+bx+c>0)\);
  • sotto l’asse delle ascisse \((ax^2+bx+c<0)\).

E se ti sei perso nel piano cartesiano…ritrova le coordinate!
Approfondisci i legami tra la parabola e la risoluzione di disequazioni di secondo grado!

Casi particolari

Cosa succede se la parabola non interseca mai l’asse delle \(x\)? Significa che l’equazione associata è impossibile (non ha soluzioni, non ci sono valori di \(x\) per cui il trinomio si annulla), ma … non significa che anche la disequazione sia impossibile!
La soluzione della disequazione dipende dal segno della disuguaglianza e del coefficiente \(a\).

Riassunto

1° CASO: \(ax^2+bx+c>0\, , a > 0\)

  • \(\Delta>0\) : \(x < x_1 \vee x > x_2\), cioè i valori esterni;
  • \(\Delta=0\) : sempre verificata in \( \mathbb{R} \) tranne quando \(x=x_1=x_2\);
  • \(\Delta<0\): sempre verificata in \( \mathbb{R} \)

2° CASO: \(ax^2+bx+c<0\, , a > 0 \)

  • \(\Delta>0\) : \(x_1 < x < x_2\), cioè i valori interni;
  • \(\Delta=0\) : nessuna soluzione;
  • \(\Delta<0\) : nessuna soluzione.

Se sei curioso di sapere come finisce la sfida…vai qui!