Come risolvere le equazioni con il modulo 11 mag 2015

equazioni con il modulo

La sfida

Finalmente Stefano e Elena hanno scelto lo stabilimento balneare e si stanno godendo il mare. Ad un certo punto un animatore della spiaggia annuncia al megafono il gioco dell’aperitivo.
Il primo che dirà quanto vale \( | x – 5 | \) vincerà un gelato!
Stefano è pronto a godersi la bevuta in riva al mare!

 

Concetto di valore assoluto di un’espressione

Il valore assoluto, che si indica come |…| e si chiama modulo, è una funzione che ci assicura che abbiamo a che fare con una quantità \( > 0 \) oppure \(= 0 \). La funzione \( |x| \)è infatti definita in questo modo:

\( |x|=\begin{cases}x \text{ se }  x \ge 0 \\ – x \text{ se } x<0 \end{cases}\).

Equazioni con il modulo

Un’equazione con il modulo è un’equazione in cui compare il simbolo di valore assoluto o modulo.
\(P (x) \) e \( Q (x) \) sono due polinomi qualunque e \( k \) un numero reale.

Caso 1:
\( | P (x) | = k \) può avere o due soluzioni o nessuna soluzione al variare di \( k \):

  • Se \( k > 0 \) le soluzioni si trovano calcolando \( P (x) = \pm k \)
  • Se \( k < 0 \) non ci sono soluzioni! Infatti, un modulo è sempre positivo, quindi non può essere uguale a una quantità negativa!

Caso 2:
\( | P (x) | = | Q (x) | \) se elevi al quadrato entrambi i membri elimini il modulo.
Oppure più velocemente, scrivi: \( P (x) = \pm Q (x) \)

Caso 3:
\( | P (x) | = Q (x) \)
ricorda la definizione del modulo \(| P (x) | = \begin{cases} P (x) \text{ se } P(x) \ge 0 \\ – P (x) \text{ se } P(x) < 0 \end{cases}\)
Dobbiamo risolvere due sistemi che sono composti da:

  • una disequazione che indica la condizione che stiamo considerando per \( P (x) \)
  • l’equazione di partenza in cui \( P (x) \) ha il segno stabilito dalla condizione scelta.
    \( \begin{cases} P (x) \ge 0 \\ P (x) = Q (x) \end{cases} \cup \begin{cases} P (x) < 0 \\ – P (x) = Q (x) \end{cases}\)

Risoluzione di equazioni con modulo

Ecco come risolvere le equazioni con i valori assoluti:

  1. Studia il segno del contenuto dei moduli: individua gli intervalli in cui sono \( \ge \) e \( < 0 \).
  2. Scrivi i sistemi tra l’intervallo identificato e l’equazione riscritta senza i moduli.
    Ricorda di cambiare il segno dei contenuti dei moduli quando negativi.
  3. Scrivi la soluzione, che è l’unione delle soluzioni di ogni sistema studiato.

Esercitati a risolvere le equazioni con i moduli!

Risoluzione di disequazioni con modulo

Esistono anche le disequazioni con i moduli.
Il modo di procedere è esattamente lo stesso:

  1. Studia il segno del contenuto dei moduli: individua gli intervalli in cui sono \( \ge \) e \( < 0 \).
  2. Scrivi i sistemi tra l’intervallo identificato e la disequazione riscritta senza i moduli.
    Ricorda di cambiare il segno dei contenuti dei moduli quando negativi.
  3. Scrivi la soluzione, che è l’unione delle soluzioni di ogni sistema studiato.

Equazioni con il modulo: esercizio svolto

\( |x| + \frac{1}{|x-1|} = |x + 2| -1 \) C.E. \(x \neq 1 \)
In questo esempio hai 3 moduli. Devi studiarli separatamente:
Primo modulo:
\( |x| =  \begin{cases} x \text{ se } x \ge 0 \\ – x \text{ se } x < 0 \end{cases}\)
Secondo modulo:
\( |x – 1| =  \begin{cases} x – 1 \text{ se } x > 1 \\ 1 – x \text{ se }x < 1 \end{cases}\)
Terzo modulo:
\( |x + 2| =  \begin{cases} x+ 2 \text{ se } x  \ge – 2 \\ – x – 2 \text{ se } x < -2 \end{cases}\)
Ora devi costruire una tabella dei segni per studiare gli intervalli.
Puoi vedere quella che abbiamo costruito noi nella slide 12
Scegli un intervallo, ad esempio \( x < – 2 \)
In base ai segni che troverai sulla tua tabella, nell’intervallo \( x < – 2 \)  tutti i moduli hanno argomento negativo.
L’equazione diventa allora: \( – x + \frac {1}{1 – x} = – x – 2 – 1\)
E quindi: \( x = \frac {4}{3} \)
Procedi così anche per tutti gli intervalli.
Devi risolvere quattro equazioni diverse e confrontare le soluzioni con la condizione con cui stai lavorando!
Per l’intervallo \( x < -2 \), l’equazione \( – x + \frac {1}{1-x} = -x -2 -1\) risolta dà la soluzione \( x = \frac{4}{3} \) che non è accettabile perché non rientra nell’intervallo definito.
L’analisi degli altri tre intervalli corrisponde all’unione dei sistemi:
\( \begin{cases} – 2 \le x \le 0  \\ – x + \frac{1}{1 – x} = x + 2 -1\end{cases} \) \(\cup \begin{cases} 0 \le x < 1  \\ x + \frac{1}{1 – x} = x + 2 -1\end{cases} \) \( \cup \begin{cases} x > 1  \\ x + \frac{1}{x – 1} = x + 2 -1\end{cases}\)
Risolvendo le equazioni otteniamo questi risultati:
\( \begin{cases} 2 \le x \le 0 \\ x = 0 \vee x = \frac{1}{2} \end{cases} \) \(\cup \begin{cases} 0 \le x < 1  \\ x = 0 \end{cases} \) \( \cup \begin{cases} x > 1  \\ x > 2 \end{cases}\)
\( x = \frac{1}{2} \) non è accettabile perché  \( \frac{1}{2} > 0\) e l’intervallo è \( 2 \le x \le 0 \)
In conclusione, le soluzioni dell’equazione modulare fratta sono:
\( x= 0 \vee x= 2 \)
Guarda tutti gli altri esercizi spiegati passo a passo!

Se sei curioso di sapere come finisce la sfida…vai qui!