Come risolvere le successioni numeriche

21 giu 2015

Cos’è una successione

La successione è una funzione che ha come dominio \( N \) (o un suo sottoinsieme infinito) e associa a un numero naturale \(n\) un numero reale \(a_n\).

Glossario

• \(n\) : indice della successione
• \(a_n\) : termine della successione

Una successione si scrive \(a_0\) \(a_1\) \(a_2\) … \(a_{n-1}\) \(a_n\) …

Esercizio con le successioni numeriche

La successione che associa ad ogni numero naturale il suo quadrato è: \( a(n) = n^2 \)
I suoi termini sono: \(a_0 = 0\) \(a_1 = 1\) \(a_2 = 4\) \(a_3 = 9\) … \(a_n = n^2\) …

Attenzione!
Spesso quando si parla di successioni, si usa il simbolo \(a_n\) al posto di \(a(n)\) tipico delle funzioni. Il pedice \(n\) ti dice in quale posizione si trova il termine \(a_n\)

Esercizio con le successioni numeriche

La successione \( a : N \rightarrow R \) dei cubi dei numeri naturali ha i termini della forma \( a_n = n^3 \).
Non è suriettiva perché il codominio è \( C = { 0, 1, 8, 27 …} \subset R \).
Però se prendi due elementi diversi del dominio, i loro cubi sono certamente diversi, quindi è iniettiva!

Rappresentazione delle successioni

Negli esercizi precedenti hai visto due tecniche di rappresentazione di una successione. La prima, immediata, è  quella di elencare tutti i termini
\( 0 \, \, 1 \, \, 4 \, \, 9 \, \, 16 \, \, 25 \, \, 36 \, \, 49 \, \, 81 \, \, … \)
Questo metodo si chiama rappresentazione per enumerazione o elencazione.
Questo metodo però ti racconta poco di come è fatta la successione. Per questo, i matematici si sono inventati altri metodi per rappresentarle.
Il secondo metodo di rappresentazione delle successioni è la rappresentazione per formula analitica.
Se conosci come i termini dipendono dall’indice della successione, puoi scrivere direttamente l’espressione \(a_n\), come nell’esempio della successione di cubi.

Esercizio con le successioni numeriche

L’espressione \(a_n = n^2 – n \) ha come risultato la successione \( 0 \, \, 0 \, \, 2 \, \, 6 \, \, 12 \, \, 20 \, \, … \)

Un altro metodo di rappresentazione delle successioni è costituito dalla rappresentazione ricorsiva.
La rappresentazione ricorsiva viene utilizzata quando puoi trovare un termine della successione a partire dai termini che la precedono.

Esercizio con le successioni numeriche

Puoi scrivere la famosa Successione di Fibonacci con la rappresentazione ricorsiva:
\(\begin{cases}a_0=0 \\ a_1=1  \\ a_n=a_{n-1} + a_{n-2} \, \, \, \, n \ge 2 \end{cases}\)
Ovvero per \( n \ge 2 \)
\( a_2 = a_1 + a_0 = 1 + 0 = 1 \) \( a_3 = a_2 + a_1 = 1 + 1 = 2 \) \( a_4 = a_3 + a_2 = 2 + 1 = 3 \, \, …\)
e così via, fino a ottenere la successione \( 0 \, \, 1 \, \, 2 \, \, 3 \, \, 5 \, \, 8 \, \, 13 \, \, … \)
Hai notato che ogni termine della successione è la somma dei due precedenti? :)

Successioni monotòne

Una successione è monotòna se soddisfa una di queste proprietà:
a. Crescente in senso stretto se \( \forall n \in N \) ogni termine è maggiore del precedente \( a_n < a_{n+1} \)
b. Decrescecnte in senso stretto se \( \forall n \in N \) ogni termine e minore del precedente \( a_n > a_{n+1} \)
c. Crescente in senso lato se \( \forall n \in N \) ogni termine è maggiore o uguale al precedente \( a_n \le a_{n+1} \)
d. Decrescente in senso late se \( \forall n \in N \)  ogni termine è minore o uguale al precedente \( a_n \ge a_{n+1} \)
e. Costante se \( \forall n \in N \)  ogni termine è uguale al precedente \( a_n = a_{n+1} \)

Guarda tutti gli esempi di successioni monotòne nella slide 13 della lezione

Successioni delle somme

Se hai una successione \( a_k \) e vuoi costruire una successione \( s_n \) i cui termini sono le somme dei termini \( a_k \) la formula che stai cercando è la seguente:
\(S_n = \sum\limits_{k=1}^n a_k \)

Non perdere tutti gli esempi e gli esercizi (con soluzioni e spiegazioni!) sul sito di Redooc.

Principio di induzione matematica

Il principio di induzione matematica è una tecnica che viene utilizzata per dimostrare che una proposizione \(P (n) \) è vera per ogni numero naturale \(n\).
Guarda tutta la spiegazione e prova a fare gli esercizi sul principio di induzione matematica!