Come risolvere le successioni numeriche

La sfida

Lo smartphone del tuo amico Alessandro è pieno di app di giochi e decidi di provarne qualcuna (invece di studiare!…).
Per sentirti meno in colpa, ne provi una che ha l’aria di essere simile ai tanti quiz televisivi di cultura generale!
Dato che non ti sei messo a studiare matematica, il karma si abbatte subito su di te alla prima domanda:
quali sono i numeri mancanti nella successione \( 1 \, \, 3 \, \, 6 \, \, ? \, \, 15 \, \, 21 \, \, ? \, \, 36 \, \, 45 \, \, 55 \, \, … \)
Sapresti trovare una rappresentazione ricorsiva per questa successione, in modo da non doverla per forza scrivere elencando tutti gli elementi?

Cos’è una successione

La successione è una funzione che ha come dominio \( N \) (o un suo sottoinsieme infinito) e associa a un numero naturale \(n\) un numero reale \(a_n\).

Glossario

\(n\) : indice della successione
\(a_n\) : termine della successione

Una successione si scrive \(a_0\) \(a_1\) \(a_2\) … \(a_{n-1}\) \(a_n\) …

Esercizio con le successioni numeriche

La successione che associa ad ogni numero naturale il suo quadrato è: \( a(n) = n^2 \)
I suoi termini sono: \(a_0 = 0\) \(a_1 = 1\) \(a_2 = 4\) \(a_3 = 9\) … \(a_n = n^2\) …

Attenzione!
Spesso quando si parla di successioni, si usa il simbolo \(a_n\) al posto di \(a(n)\) tipico delle funzioni. Il pedice \(n\) ti dice in quale posizione si trova il termine \(a_n\)

Esercizio con le successioni numeriche

La successione \( a : N \rightarrow R \) dei cubi dei numeri naturali ha i termini della forma \( a_n = n^3 \).
Non è suriettiva perché il codominio è \( C = { 0, 1, 8, 27 …} \subset R \).
Però se prendi due elementi diversi del dominio, i loro cubi sono certamente diversi, quindi è iniettiva!

Rappresentazione delle successioni

Negli esercizi precedenti hai visto due tecniche di rappresentazione di una successione. La prima, immediata, è quella di elencare tutti i termini
\( 0 \, \, 1 \, \, 4 \, \, 9 \, \, 16 \, \, 25 \, \, 36 \, \, 49 \, \, 81 \, \, … \)
Questo metodo si chiama rappresentazione per enumerazione o elencazione.
Questo metodo però ti racconta poco di come è fatta la successione. Per questo, i matematici si sono inventati altri metodi per rappresentarle.
Il secondo metodo di rappresentazione delle successioni è la rappresentazione per formula analitica.
Se conosci come i termini dipendono dall’indice della successione, puoi scrivere direttamente l’espressione \(a_n\), come nell’esempio della successione di cubi.

Esercizio con le successioni numeriche

L’espressione \(a_n = n^2 – n \) ha come risultato la successione \( 0 \, \, 0 \, \, 2 \, \, 6 \, \, 12 \, \, 20 \, \, … \)

Un altro metodo di rappresentazione delle successioni è costituito dalla rappresentazione ricorsiva.
La rappresentazione ricorsiva viene utilizzata quando puoi trovare un termine della successione a partire dai termini che la precedono.

Esercizio con le successioni numeriche

Puoi scrivere la famosa Successione di Fibonacci con la rappresentazione ricorsiva:
\(\begin{cases}a_0=0 \\ a_1=1 \\ a_n=a_{n-1} + a_{n-2} \, \, \, \, n \ge 2 \end{cases}\)
Ovvero per \( n \ge 2 \)
\( a_2 = a_1 + a_0 = 1 + 0 = 1 \) \( a_3 = a_2 + a_1 = 1 + 1 = 2 \) \( a_4 = a_3 + a_2 = 2 + 1 = 3 \, \, …\)
e così via, fino a ottenere la successione \( 0 \, \, 1 \, \, 2 \, \, 3 \, \, 5 \, \, 8 \, \, 13 \, \, … \)
Hai notato che ogni termine della successione è la somma dei due precedenti? :)

Successioni monotòne

Una successione è monotòna se soddisfa una di queste proprietà:
a. Crescente in senso stretto se \( \forall n \in N \) ogni termine è maggiore del precedente \( a_n < a_{n+1} \)
b. Decrescecnte in senso stretto se \( \forall n \in N \) ogni termine e minore del precedente \( a_n > a_{n+1} \)
c. Crescente in senso lato se \( \forall n \in N \) ogni termine è maggiore o uguale al precedente \( a_n \le a_{n+1} \)
d. Decrescente in senso late se \( \forall n \in N \) ogni termine è minore o uguale al precedente \( a_n \ge a_{n+1} \)
e. Costante se \( \forall n \in N \) ogni termine è uguale al precedente \( a_n = a_{n+1} \)

Guarda tutti gli esempi di successioni monotòne nella slide 13 della lezione

Successioni delle somme

Se hai una successione \( a_k \) e vuoi costruire una successione \( s_n \) i cui termini sono le somme dei termini \( a_k \) la formula che stai cercando è la seguente:
\(S_n = \sum\limits_{k=1}^n a_k \)

Non perdere tutti gli esempi e gli esercizi (con soluzioni e spiegazioni!) sul sito di Redooc.

Principio di induzione matematica

Il principio di induzione matematica è una tecnica che viene utilizzata per dimostrare che una proposizione \(P (n) \) è vera per ogni numero naturale \(n\).
Guarda tutta la spiegazione e prova a fare gli esercizi sul principio di induzione matematica!