Come risolvere un’ equazione di secondo grado

La sfida

Sai di essere malato per colpa dell’Equaziococco, un batterio che causa la malattia se presente in un numero maggiore di 300 nel corpo di una persona.
Ora controlli se il tuo migliore amico è malato: all’inizio aveva \(x \), ma con il passare dei giorni sono diventati \(\frac{1}{10}\) del quadrato di quelli iniziali e gli \(x\) batteri iniziali sono morti.
Quanti batteri doveva avere il tuo amico per essere malato ora?

Definizione di equazione di secondo grado

Un’equazione è di secondo grado quando almeno una \( x \) è elevata alla seconda.
\( ax^2 + bx + c= 0 \) è la forma normale di un’equazione di secondo grado completa.

\( a,b,c \) si chiamano coefficienti e possono essere numeri reali o espressioni letterali (cioè monomi o polinomi). Il coefficiente \( c \) è chiamato termine noto perché non è moltiplicato per l’incognita. Il coefficiente \( a \) deve essere sempre diverso da \( 0\), altrimenti l’equazione sarebbe di primo grado.

Le soluzioni di un’equazione di secondo grado sono quei valori che, sostituiti all’incognita, rendono vera l’uguaglianza.

Esempio:

\(2x^2 -5x +3 =0 \) è un’equazione di secondo grado completa.
\(x= \frac {3}{2} \) e \(x=1 \) sono le sue soluzioni.

Per sapere che differenza c’è tra le equazioni complete e pure, spurie e monomie, guarda la lezione.

Risolvere un’equazione di secondo grado

Per risolvere un’equazione di secondo grado completa, prima riscrivila in forma normale \( ax^2 + bx + c= 0 \).
Poi:

calcola il discriminante \( Δ \)
controlla il segno di \( Δ \)
utilizza la formula di risoluzione: \( x_{1,2} = \frac{−b ± \sqrt Δ}{2a} \)

1. Discriminante

Da dove salta fuori il \( Δ \)?
Con il metodo del completamento del quadrato, l’equazione di secondo grado \( ax^2+bx+c=0 \) è scritta come \( (2ax+b)^2=b^2−4ac \).

La quantità a destra dell’uguale si dice discriminante e viene indicata con la lettera \( Δ \) dell’alfabeto greco, pronunciata “delta”.

2. Segno di Δ

Il \( Δ \) è molto importante perché dal suo segno dipende il numero di soluzioni dell’equazione:

\( Δ<0 \) l’equazione non ha soluzioni reali, è impossibile
\( Δ=0 \) l’equazione ha 2 soluzioni reali e distinte
\( Δ>0 \) l’equazione ha 2 soluzioni reali e distinte

3. Soluzioni

Dopo aver calcolato il \( Δ \) di un’ equazione ed esserti assicurato che esistono due soluzioni reali, per trovarle, puoi usare la formula: \( x_{1,2} = \frac{−b ± \sqrt Δ}{2a} \)

Formula ridotta

Quando \( b \) è un numero pari, esiste una formula ridotta che permette di trovare più velocemente le soluzioni. La quantità sotto radice viene indicata con \( \frac {Δ}{4}\) e la formula di risoluzione diventa \( x_{1,2} = \frac{−\frac{b}{2} ± \sqrt{\frac{Δ}{4}}}{2} \)

Esempio

Risolvi la seguente equazione di secondo grado:
\( 6x^2 – 14x + 8 = 0 \)
Visto che \( b=-14 \), cioè è un numero pari, puoi calcolare il \( \frac {Δ}{4} = (\frac{b}{2})^2 -ac = 49-48= 1 \)
\( \frac {Δ}{4} > 0 \), allora trovi due soluzioni:
\( x_1 = \frac {7+\sqrt 1} {6} = \frac{4}{3} \)
\( x_2 = \frac {7 – \sqrt 1} {6} = 1 \)