Come risolvere un’ equazione di secondo grado

20 apr 2015

Definizione di equazione di secondo grado

Un’equazione è di secondo grado quando almeno una \( x \) è elevata alla seconda.
\( ax^2 + bx + c= 0 \) è la forma normale di un’equazione di secondo grado completa.

\( a,b,c \) si chiamano coefficienti e possono essere numeri reali o espressioni letterali (cioè monomi o polinomi). Il coefficiente \( c \) è chiamato termine noto perché non è moltiplicato per l’incognita. Il coefficiente \( a \) deve essere sempre diverso da \( 0\), altrimenti l’equazione sarebbe di primo grado.

Le soluzioni di un’equazione di secondo grado sono quei valori che, sostituiti all’incognita, rendono vera l’uguaglianza.

Esempio:

\(2x^2 -5x +3 =0 \) è un’equazione di secondo grado completa.
\(x= \frac {3}{2} \) e \(x=1 \) sono le sue soluzioni.

Per sapere che differenza c’è tra le equazioni complete e pure, spurie e monomie, guarda la lezione.

Risolvere un’equazione di secondo grado

Per risolvere un’equazione di secondo grado completa, prima riscrivila in forma normale \( ax^2 + bx + c= 0 \).
Poi:

1. calcola il discriminante \( Δ \)
2. controlla il segno di \( Δ \)
3. utilizza la formula di risoluzione: \( x_{1,2} = \frac{−b ± \sqrt Δ}{2a} \)

1. Discriminante

Da dove salta fuori il \( Δ \)?
Con il metodo del completamento del quadrato, l’equazione di secondo grado \( ax^2+bx+c=0 \) è scritta come \( (2ax+b)^2=b^2−4ac \).

La quantità a destra dell’uguale si dice discriminante e viene indicata con la lettera \( Δ \) dell’alfabeto greco, pronunciata “delta”.

2. Segno di Δ

Il \( Δ \) è molto importante perché dal suo segno dipende il numero di soluzioni dell’equazione:

• \( Δ<0 \) l’equazione non ha soluzioni reali, è impossibile
• \( Δ=0 \) l’equazione ha 2 soluzioni reali e distinte
• \( Δ>0 \) l’equazione ha 2 soluzioni reali e distinte

3. Soluzioni

Dopo aver calcolato il \( Δ \)  di un’ equazione ed esserti assicurato che esistono due soluzioni reali, per trovarle, puoi usare la formula: \( x_{1,2} = \frac{−b ± \sqrt Δ}{2a} \)

Formula ridotta

Quando \( b \) è un numero pari, esiste una formula ridotta che permette di trovare più velocemente le soluzioni. La quantità sotto radice viene indicata con \( \frac {Δ}{4}\) e la formula di risoluzione diventa \( x_{1,2} = \frac{−\frac{b}{2} ± \sqrt{\frac{Δ}{4}}}{2} \)

Esempio

Risolvi la seguente equazione di secondo grado:
\( 6x^2 – 14x + 8 = 0 \)
Visto che \( b=-14 \), cioè è un numero pari, puoi calcolare il \( \frac {Δ}{4} = (\frac{b}{2})^2 -ac = 49-48= 1 \)
\( \frac {Δ}{4} > 0 \), allora trovi due soluzioni:
\( x_1 = \frac {7+\sqrt 1} {6} = \frac{4}{3} \)
\( x_2 = \frac {7 – \sqrt 1} {6} = 1 \)