Come risolvere un sistema lineare

30 mar 2015

Sistemalineare Redooc.com

La sfida

Il Signor Enigmus apre il frigo e… ci sono birre e aranciate fresche! Gli chiedi se te ne offre una, ma vuole fartele pagare! Non conosce il prezzo delle singole bevande, ma trova due scontrini vecchi. Nel primo ha comprato 4 birre e 4 aranciate e nel secondo ha comprato 2 birre e 5 aranciate. Ha speso 36 prima e poi 30 euro. Decidi di prendere la bibita che costa meno. Qual è?

 

Un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni con due o più incognite. Devi scrivere il sistema con una grande parentesi graffa che ha all’interno le equazioni da risolvere. La soluzione è una coppia di valori che, se sostituiti alle incognite, verificano tutte le equazioni contemporaneamente.
Come si risolvono dunque i sitemi? Ecco tutti i metodi per risolvere i sitemi lineari a due incognite.

1. Sistema lineare con il metodo di sostituzione

Il metodo di sostituzione è il più semplice.
Con questo metodo devi ricavare un’incognita da un’equazione e sostituirla nell’altra.

Ecco i passi da seguire:

  • Riduci il sistema lineare in forma normale, applicando i principi di equivalenza delle equazioni;
  • Ricava da una delle due equazioni l’espressione di una delle due incognite, in funzione dell’altra (es. \( x=…y \) è il valore di \( x \) espresso in funzione di  \( y \));
  • Sostituisci nella seconda equazione l’espressione trovata;
  • Ricava il valore dell’altra incognita nell’altra equazione;
  • Risostituisci il valore di  \( y \)  nella prima equazione e trovi il valore di \(  x \) .

2. Sistema lineare con il metodo di riduzione

Il metodo di riduzione ha l’obiettivo di farti rimanere con una sola incognita grazie alla somma o alla sottrazione dei termini con la stessa incognita.
Per applicare questo metodo potresti dover moltiplicare una delle due equazioni (o entrambe se necessario), per un numero diverso da zero. Lo scopo è quello di garantire che i coefficienti di una stessa incognita siano uguali o opposti nelle due equazioni. Poi devi sommare (o sottrarre) i termini con le stesse incognite.

3. Sistema lineare con il metodo del confronto

Con il metodo del confronto isoli la stessa incognita, ad esempio \( x \), nelle due equazioni. Una volta che hai ricavato due espressioni diverse per la \( x \), uguagliale. Ora risolvi l’equazione e trovi la \( y \).

4. Sistema lineare con il metodo di Cramer

Con quest’ultimo metodo risolvi il sistema lineare introducendo il concetto di determinante. I determinanti sono i numeratori e i denominatori delle frazioni che rappresentano le soluzioni date dal metodo di Cramer.
Per sapere come calcolare il determinante vai alla lezione ‘Sistema lineare e metodo del confronto, di riduzione e di Cramer

Se sei curioso di sapere come finisce la sfida…vai qui!