Come si calcola il fascio di rette proprio

La sfida

Hai scoperto un gioco per PC molto simile a battaglia navale, ma con castelli e catapulte al posto di navi e cannoni.
Il primo livello è molto semplice: le mura del castello sono rettilinee e sul reticolo di gioco sono rappresentate da un segmento di estremi \( (0;2) \) e \( (4;5) \).
La catapulta del tuo esercito si trova nel punto \( (6;1) \).
Quali indicazioni devi dare per essere sicuro di colpire le mura e ridurle ad un colabrodo?

Il bigino sulle rette del piano

	Equazione
Retta in forma implicita	\( ax+ by+c=0 \)	Rappresenta tutte le rette del piano
Retta in forma esplicita	\( y= mx+ q \)	Non rappresenta le rette parallele all’asse \(y\)
Coefficiente angolare	\( m = -\frac {a}{b} \)	È l’inclinazione della retta
Intercetta all’origine	\( q = -\frac {c}{b} \)	Punto in cui la retta incontra l’asse \(y\)

N.B. Per fatti un ripasso completo sull’equazione generale della retta e il coefficiente angolare!

Fascio di rette proprio

Definizione

Un fascio di rette proprio è l’insieme delle rette che passano per un punto \( P(x_0; y_0)\).

Equazione del fascio di rette proprio

\( y – y_0 = m ( x -x_0) \\ \)

Usa questa equazione e non quella implicita perché così la variabile è una sola.
Fissato \(P\), se fai variare il coefficiente angolare \(m\) puoi trovare tutte le rette che passano per \(P\) tranne una: la retta parallela all’asse \(y\), di equazione \( x = x_0\).

Quindi un fascio di rette proprio completo è rappresentato dalla coppia di equazioni:

\(\begin{cases} y – y_0 = m ( x -x_0) \\ x = x_0 \end{cases}\) con \( m \in R\)

Scopri le caratteristiche di un fascio di rette improprio e impara come trovare la retta base. Impara a trovare l’equazione un fascio di rette proprio di centro P.

Esempio

Dato il punto \(P (2;-3)\) \(x_0=2\) e \(y_0= -3\).
Sostituisci le coordinate nella formula del fascio.
L‘equazione esplicita del fascio proprio di rette passanti per \(P\) è \(y + 3 = m( x – 2)\).
In questa equazione è esclusa la retta \(x = 2\) perché non corrisponde a nessun valore di \(m\).
Ma quindi questa retta non appartiene al fascio? No! Basta aggiungerla scrivendo il fascio proprio completo come \(\begin{cases} y +3 = m ( x -2) \\ x = 2 \end{cases}\) con \( m \in R\)

Guarda il grafico alla slide 6 del ripasso sui fasci di rette ;)