Come trovare l’equazione della circonferenza 6 apr 2015

equazione della circonferenza

La sfida

Hai deciso di diventare pilota d’aereo e per prima cosa devi imparare a utilizzare il radar. Ti ritrovi in aria a 5 km est e 8 km sud rispetto alla torre di controllo. Un tuo amico, il Barone Rosso, vola attorno a te mantenendosi ad una distanza fissa di 15 km. Sta descrivendo una curva particolare?

 

La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso, il centro. Puoi individuare un’equazione che rappresenta questo insieme di punti.
Come trovare l’equazione della circonferenza? Ecco tutto quello che ti serve sapere!

L’equazione della circonferenza

Disegna una circonferenza di raggio  \( r \)  in un piano cartesiano \( xOy \) e chiama \( x_0 \) e \( y0 \) le coordinate del centro, cioè \( C(x_0;y_0) \)
Prendi un punto qualsiasi del piano di coordinate \( P(x;y) \).
Cerca i valori delle coordinate in modo che \( P \) sia un punto della circonferenza, cioè in modo che abbia distanza da \( C \) uguale a \( r \).
Usa la formula della distanza tra due punti: \( \overline{PC}=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} \)
Perché \( P \) sia un punto della circonferenza, deve valere \( \overline{PC}=r \)
Hai quasi finito!
Eleva al quadrato per togliere la radice \( (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2 \)
Questa è l’equazione della circonferenza dati centro \( C(x_0;y_o) \) e raggio \( r \)

Ora puoi anche giocare con l’equazione della circonferenza e trovare un altro modo di scriverla.
Sviluppa i quadrati e porta \( r^2 \) a sinistra dell’uguale: \( x^2-2x_0x+x_0^2+y^2-2y_0y+y_0^2-r^2=0 \)
Ora, riordina i termini e chiama \( \begin{cases} a=-2x_0\\ b=-2y_0 \\ c=x_0^2+y_0^2-r^2 \end{cases} \)
Questa è l’equazione generale della circonferenza: \( x^2+y^2+ax+by+c=0 \)

Condizione di esistenza

Hai visto l’equazione generale, ora guarda questa: \( kx^2+hy^2+a’x+b’y+c’=0 \)
Riesci a capire se è una circonferenza?
Se i coefficienti di \( x^2 \) e \( y^2 \) sono diversi allora sicuramente non lo è!
Se invece sono uguali (cioè \( k=h \)), può essere una circonferenza. Per riportarla alla forma che hai visto prima, basta dividere per il coefficiente di \( x^2 \) e \( y^2 \), cioè \( k \). Trovi l’equazione \( x^2+y^2+ax+by+c=0 \) con \( \begin{cases} a=\frac{a’}{k}\\ b=\frac{b’}{k} \\ c=\frac{c’}{k} \end{cases} \)
Quindi tutte le equazioni del tipo \( x^2+y^2+ax+by+c=0 \) rappresentano una circonferenza?

Solo se il raggio è positivo, o al massimo nullo (in questo caso la circonferenza si riduce ad un punto e si chiama degenere). Cioè se vale \( r\ge0\Rightarrow x_0^2+y_0^2-c\ge0 \). Scopri perché qui.

La circonferenza è una funzione?

L’equazione generale della circonferenza è scritta in forma implicita, cioè come un’equazione in due variabili del tipo \( F(x,y)=0 \).

Ricordi? Anche le rette possono essere rappresentate in forma implicita come \( F(x,y)=a′x+b′y+c′=0 \)
Per la retta puoi scrivere la variabile \( y \) in funzione di \( x : y=−a′b′x−c′b′=mx+q \)
Puoi fare lo stesso anche per la circonferenza? La risposta è no!
Scopri perché!

Parti da un esempio molto semplice e considera l’equazione della circonferenza con centro nell’origine e raggio \( r : x^2+y^2=r^2 \)
Ora risolvi l’equazione in \( y \), scrivila cioè nella forma \( y=… \) (si dice anche esplicitare \( y \) ) e trovi \( y=\pm\sqrt{r^2-x^2} \). Sono 2 equazioni: \( y_1=\sqrt{r^2-x^2} \) e \( y_2=-\sqrt{r^2-x^2} \)

Non puoi trovare in modo univoco la \( y \) di una circonferenza (trovi sempre due valori). Questo significa che non è una funzione! Ad un valore di \( x \) corrispondono due valori dell’ordinata, \( y_1 \) e \( y_2 \).
Le due equazioni che ottieni da quella della circonferenza sono funzioni: sono due semicirconferenze!
\( y_1=\sqrt{r^2-x^2} \) e \( y_2=-\sqrt{r^2-x^2} \)

È semplice capire se un grafico rappresenta una funzione: se esiste una retta verticale che taglia il grafico in più di un punto, quella non è una funzione!

Se sei curioso di sapere come finisce la sfida…vai qui!