Come usare il primo e il secondo teorema di Euclide 1 apr 2015

teorema di Euclide

La sfida

Devi imbiancare casa ma prima di iniziare devi mettere il nastro adesivo ai bordi degli infissi per evitare di sporcarli. Uno strano artista ha una preziosa porta a forma di triangolo rettangolo (è decisamente scomoda da usare ma l’arte non si discute) che non deve essere assolutamente sporcata. I cateti misurano \( 3 m \) e \( 4 m \). Quanti metri di nastro adesivo devi comprare per coprire tutti i bordi della porta?

Per sapere come usare il primo e il secondo il teorema di Euclide devi prima sapere cosa dicono.

Primo Teorema di Euclide

In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha i lati congruenti all’ipotenusa e alla proiezione dello stesso cateto sull’ipotenusa.

La dimostrazione

Per dimostrare il teorema devi far vedere che il quadrato che ha per lato il cateto e il rettangolo costruiti sono equivalenti, cioè hanno la stessa area. Prolunga i lati del rettangolo dalla parte del triangolo in modo che incontrino il prolungamento del lato del quadrato parallelo al cateto del triangolo rettangolo. Individua due triangoli congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli che quindi sono anche equivalenti. Inoltre considera i prolungamenti disegnati con un cateto del triangolo, questi formano un parallelogramma di cui possiamo dimostrare l’equivalenza con il quadrato e con il rettangolo per i teoremi di equivalenza dei parallelogrammi. Per la proprietà transitiva dell’equivalenza il teorema è dimostrato! ;)

Secondo Teorema di Euclide

In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo aventi i lati congruenti alle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
Per la dimostrazione devi analizzare le equivalenze, applica il teorema di Pitagora e il primo teorema di Euclide.

Come usare il primo teorema di Euclide

Calcola il perimetro di un triangolo rettangolo, retto in \( C \), la cui ipotenusa è \( AB=5 cm \) e la proiezione del cateto minore sull’ipotenusa è \( 2 cm \).
Conosci l’ipotenusa \( AB = 5 cm \) e la proiezione del cateto minore \( AH = 2 cm \). Grazie al primo teorema di Euclide sai che:
\( AC^2=AB \cdot AH = 5\cdot 2 =10 \)
Puoi calcolare la lunghezza del segmento \(AC\):
\( AC = \sqrt {10} = 3,16 cm \)
Ora puoi usare il teorema di Pitagora:
\( BC^2=AB^2 – AC^2 =25-10=15 \)
quindi:
\( BC=\sqrt{15}=3,87 \)
Ora hai determinato tutti gli elementi per calcolare il perimetro (cioè i lati):
\( 2p = AB + BC + AC = 5 + 3,87 + 3,16 = 12,03 cm \)

Come usare il secondo teorema di Euclide

Devi calcolare l’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo. Sai la misura delle proiezioni dei cateti \( AH = 4 cm \) e \( HB = 9 cm \).
Quindi per il secondo teorema di Euclide:
\( AH^2 = AH \cdot BH = 4\cdot 9 = 36 cm^2\)
Mettiamo tutto sotto radice quadrata per trovare l’altezza \( AH \):
\( AH = \sqrt {36 cm^2 } = 6 cm \)
Facile no?

E se sei curioso di sapere come finisce la sfida vai qui