Concetto di sistema lineare e metodo di sostituzione

20 gen 2015

Foto di famiglia

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Equazioni lineari in due incognite e sistemi lineari. Vuoi imparare come si risolve un sistema lineare di equazioni tramite il metodo di sostituzione? Se hai già capito come risolvere un’equazione lineare sei pronto per vedere i sistemi.

In questa video lezione imparerai:

  • Equazione lineare in due incognite: cos’è e quali sono le soluzioni
  • Concetto di sistema: sistemi di due equazioni in due incognite, come si trovano i valori delle incognite
  • Metodo di sostituzione: come si applica il metodo di sostituzione nei sistemi di equazioni lineari

A cosa ti serve risolvere i sistemi lineari di equazioni? Per esempio a risolvere questi tipi di problemi:

“Stai parlando con il Signor Enigmus che ti sta raccontando della sua famiglia. Fieramente ti dice che ha due figlie e: “L’età di Alice con 10 anni in più è il doppio di quella di Wendy. Inoltre il triplo della somma delle loro età è esattamente la mia età: 60 anni.” Ti senti stupido a chiedere l’età delle due figlie, allora cerchi di capire… Come fai?”

Equazione lineare in due incognite

Un’equazione lineare in due incognite è un’equazione di primo grado in cui compaiono due incognite, x e y, che si può scrivere: ax+by+c=0 con a,b,c numeri reali. Questa equazione (che si può rappresentare con una retta nel piano cartesiano) ha per soluzione ogni coppia di valori di x e y (rappresentabili con un punto) che verifica l’uguaglianza, ovvero rende il 1°membro=2°membro.

Concetto di sistema: sistemi di due equazioni in due incognite

Un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni in cui compaiono due o più incognite. Scriviamo il sistema con una grande parentesi graffa che ha all’interno le equazioni da risolvere. La soluzione è una coppia di valori che, se sostituiti alle incognite, verificano entrambe le equazioni contemporaneamente.

I sistemi sono classificati in base alle soluzioni, proprio come le equazioni.

Il sistema di due equazioni in due incognite è:

  • impossibile, se non ha soluzioni
  • determinato, se ha una soluzione
  • indeterminato, se ha un numero infinito di soluzioni.

Anche ai sistemi può essere attribuito un grado, proprio come alle equazioni e alle disequazioni. Il grado di un sistema di equazioni è dato dal prodotto dei gradi di ogni equazione di cui è composto.

Metodo di sostituzione

Il metodo di sostituzione per la risoluzione di un sistema di due equazioni in due incognite è il più utilizzato. Ecco i passi da seguire:

  1. Riduciamo il sistema in forma normale, applicando i principi di equivalenza delle equazioni;
  2. Ricaviamo da una delle due equazioni l’espressione di una delle due incognite, per esempio x, in funzione dell’altra (es. x=…y è il valore di x espresso in funzione di y);
  3. Sostituiamo nella seconda equazione l’espressione trovata;
  4. Ricaviamo il valore dell’altra incognita, ad esempio y, nell’altra equazione;
  5. Risostituiamo il valore di y nella prima equazione e ricaviamo il valore di x.

Ecco la soluzione: “Enigmus ha due figlie di 10 anni… gemelle!”

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