Cosa sono le relazioni? Scoprilo con Redooc! 20 apr 2016

Le relazioni sono un argomento fondamentale in matematica (e non solo). Infatti le relazioni sono alla base della logica, del problem solving e della programmazione (o coding, se preferite). Le relazioni vengono studiate il primo anno di scuola superiore, poi si passa alle funzioni (che sono un tipo particolare di relazioni). Ma molti studenti hanno difficoltà a capire veramente cosa sono le relazioni e soprattutto quali sono le proprietà delle relazioni. Ecco perché ci siamo sentiti in dovere di raccontare cosa sono le relazioni con nuovi video ed esercizi.
Trovate tutto quello che c’è da sapere sulle relazioni nel capitolo “Relazioni e funzioni”. Siete impazienti di avere un’anteprima? Eccovi serviti! Buon divertimento!

A cosa serve studiare le relazioni?

Prima di tutto, a cosa serve studiare le relazioni? Qual è l’obiettivo? Trovare una risposta a queste domande è fondamentale perché senza una valida risposta, lo studio di un qualunque argomento perde di significato.
Studiare cosa sono le relazioni è importante perché permette di analizzare gruppi (o insiemi) di oggetti che hanno una proprietà in comune. Ma cosa vuol dire? Beh facciamo un esempio.
Se hai una Playstation a casa e vuoi comprare un nuovo gioco, in negozio trovi tutti i giochi della Playstation in una zona dedicata. Lì troverai tutti e soli i giochi che funzionano sulla tua console. Questo perché il gestore del negozio ha messo in relazione i giochi con la console, permettendoti di risparmiare del tempo prezioso. Infatti se non l’avesse fatto, staresti ore e ore a cercare il tuo gioco in mezzo a quelli dell’Xbox o del Nintendo. Quindi tu riesci a trovare il gioco più facilmente (e questo è un vantaggio per te) e il gestore riesce a vendere meglio i suoi prodotti (e questo è un vantaggio per lui). Tutto questo capita grazie a una (semplice) relazione!

Quindi le relazioni servono a raggruppare elementi che hanno una caratteristica comune. Ma raggruppare elementi significa creare degli insiemi! Ora che abbiamo capito questo, siamo pronti per proseguire.

Cosa sono le relazioni: definizione

Definire una relazione significa trovare una proprietà comune tra gli elementi di due insiemi \(A\) e \(B\). Gli elementi che sono in relazione formano a loro volta un altro insieme, che è detto insieme relazione. Questo è formato da coppie di elementi del tipo \((a, b)\) tali che il primo elemento della coppia appartenga ad \(A\) e il secondo a \(B\). Beh, forse è utile usare un po’ di simboli matematici:

• \(A\) è l’insieme di partenza, quello dal quale prendiamo gli elementi. \(B\) è l’insieme di arrivo
• \(\mathcal{R}\) è il simbolo che indica la relazione e il sottoinsieme degli elementi che sono in relazione

Allora se l’elemento \(a\) è in relazione con l’elemento \(b\) scriviamo \( a \mathcal{R} b\). Questo significa che la coppia \((a, b)\) appartiene al sottoinsieme \(\mathcal{R}\) degli elementi che sono in relazione.
Ecco come possiamo scrivere questo sottoinsieme: \(\mathcal{R}=\{(a,b): a\mathcal{R} b\}\)
Un’ultima cosa: abbiamo detto che l’insieme \(\mathcal{R}\) è in realtà un sottoinsieme. Ma di chi? Beh i suoi elementi sono coppie di cui il primo elemento appartiene all’insieme \(A\) e il secondo appartiene all’insieme \(B\). Allora \(\mathcal{R}\) è un sottoinsieme del prodotto cartesiano \(A \times B\).

Esempi di relazioni?

Esistono infinite relazioni. In realtà, come abbiamo visto, anche tu ne crei a centinaia tutti i giorni. Se vuoi vedere alcuni esempi di relazione, ti basta pensare ai social network, come Facebook o Instagram. I social network funzionano grazie alle relazioni. Ci avevi mai pensato?
Ecco uno (dei tanti) video che trovi nel capitolo “Relazioni e Funzioni” su Redooc. Qui parliamo di relazioni e Instagram. Curioso? Guarda il video qui sotto e divertiti!

Proprietà delle relazioni

Non tutte le relazioni sono uguali. Alcune sono più uguali delle altre. Tutto dipende dalle proprietà di cui gode una relazione. Se consideriamo una relazione da un insieme in se stesso, dove cioè insieme di partenza e insieme di arrivo coincidono, questa può godere di una o più di queste proprietà:

• proprietà riflessiva: ogni elemento è in relazione con se stesso, in simboli \( \forall a \in A \Rightarrow a \mathcal{R} a \)
• proprietà simmetrica: se un elemento è in relazione con un altro, quest’ultimo è in relazione con il primo, cioè \( \forall a, b \in A\) tali che \( a\mathcal{R} b \Rightarrow b \mathcal{R} a \)
• proprietà antisimmetrica: se un elemento è in relazione con un altro e quest’ultimo è in relazione con il primo, allora i due elementi sono uguali: \( \forall a, b \in A\) tali che \( a\mathcal{R} b \) e \(b\mathcal{R} a \Rightarrow a=b\)
• proprietà transitiva: \(\forall a,b,c \in A\) tali che \(a\mathcal{R}b\) e \(b\mathcal{R} c \Rightarrow a\mathcal{R} c\) (qui i simboli spiegano meglio di mille parole)

Conoscere le proprietà di cui gode una relazione ci permette di classificarla e studiarla meglio. Ci sono infatti due grandi tipologie di relazioni:

• relazioni di equivalenza: tutte quelle che godono delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva
• relazioni d’ordine: godono delle proprietà antisimmetrica e transitiva

Come ci lascia intuire il nome, nelle relazioni di equivalenza gli elementi che sono in relazione sono “equivalenti”, praticamente uguali. Questi vengono raggruppati secondo una proprietà comune (che definisce la relazione). In una relazione d’ordine invece è possibile “ordinare” gli elementi, quindi stabilire “chi viene prima e chi dopo”.

Per una spiegazione più dettagliata, vai alla lezione sulle relazioni di equivalenza e d’ordine.

Buon allenamento con Redooc!