Derivate: Funzione derivabile, derivabilità e punti di non derivabilità 24 giu 2015

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La sfida

Un tratto dei percorsi di motocross più difficili in Italia è quello che ha traiettoria di equazione \( s \, (t) = \, sen \, t \, – \, \mid \, cos \, t \mid , \, \, t \in [ 0, 2 \pi] \).
Sapendo che la velocità istantanea, ossia la velocità in un punto, è la derivata dello spostamento rispetto al temp \( t \), qual è la velocità nell’istante \( t_0 = \frac {\pi}{2} \)?

Trovi che le derivate siano un argomento difficile? È stato uno degli argomenti che ti hanno fatto prendere il debito? Ora puoi stare tranquillo! In questo post spieghiamo una volta per tutte cosa significa funzione derivabile, la derivabilità e continuità di una funzione, e quali sono i possibili punti di non derivabilità e come riconoscere di che tipo sono.

Ti sei perso la prima parte della spiegazione? Guarda gli appunti e impara qual è il significato algebrico e geometrico della derivata di una funzione e le regole delle derivate fondamentali.

Definizione di funzione derivabile

Una funzione \(f \) è derivabile in un punto del dominio quando la derivata destra e la derivata sinistra esistono, sono finite e uguali.

Cioè quando è verificata:
\( f'(c)^+=\lim\limits_{h \to 0^+} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}=f’ (c)^-=\lim\limits_{h \to 0^-} \frac{f(c+h)-f(c)}{h} \)
Una funzione \( f \) non è derivabile se la derivata destra \( f'(x)^+\) è diversa dalla derivata sinistra \( f'(x)^-\).

Derivabilità e continuità di una funzione

Derivabile implica continua ma continua non implica derivabile. Cosa significa?

Se una funzione è derivabile in ogni suo punto allora è sicuramente continua in ogni suo punto.
Per capirlo puoi pensare al grafico di una funzione derivabile, oppure partire dalla definizione di derivata, svolgere il limite e vedere che si arriva alla definizione di continuità.

Non è vero il viceversa, ossia non tutte le funzioni continue sono derivabili. Basta pensare ad un controesempio come la funzione \( f(x)= \mid x \mid \), che è continua ma non è derivabile in \( x_0=0 \).

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Punti di non derivabilità

I punti di non derivabilità sono quelli in cui il grafico o non ha alcuna tangente, oppure ha due tangenti diverse. Cioè sono i punti in cui le derivate destra e sinistra esistono ma non sono finite e/o sono diverse fra loro.

Dove cercare e come trovare i punti di non derivabilità? I punti di non derivabilità sono quelli:

in cui la funzione non è continua;
che appartengono al dominio della funzione ma non a quello della sua derivata.

Una volta trovato il punto di non derivabilità puoi verificare di che punto si tratta calcolando la derivata destra e sinistra e riconoscendo uno fra i tre casi seguenti:

punti angolosi: \(P\) è un punto angoloso se i valori della derivata destra \(f′(c)^+\) e sinistra \(f′(c)^−\) sono o uno finito e uno infinito o entrambi finiti ma diversi;
punti di cuspide: \(P\) è un punto di cuspide se i valori della derivata destra \(f′(c)^+\) e sinistra \(f′(c)^-\) sono entrambi infiniti ma di infiniti diversi. Cioè uno è \( +\infty \) quando l’altro è \( -\infty \) o viceversa;
punti di flesso a tangente verticale: \(P\) è un punto a tangente verticale se i valori della derivata destra \(f′(c)^+\) e sinistra \(f′(c)^− \) sono entrambi \( +\infty \) o \( -\infty \).

Esercizio svolto con le derivate:

Prima di iniziare questo esercizio ti può essere utile ripassare:

La funzione \( f (x) = \sqrt[5]{x} +3 \) è continua ma non derivabile in \(P (0;3) \)?

Per risolvere questo esercizio devi sfruttare la definizione continua: \( \lim\limits_{x\to 0} f(x) = \lim\limits_{x\to 0} \sqrt[5]{x} +3 = 0+3 =3 \)
Dato che \( f(0) =3 \), la funzione è continua in \(P (0;3) \)!

La funzione non è derivabile in \( P \), infatti:

\(f′(0)^+ \)\(= \lim\limits_{h\to 0^+} \frac { \sqrt[5]{0+h} +3 – (\sqrt[5]{0} +3) } {h}[/latex[latex] = \lim\limits_{h\to 0^+} \frac {\sqrt[5]{h}}{h} = +\infty \)
\(f′(0)^- \)\(= \lim\limits_{h\to 0^-} \frac { \sqrt[5]{h}} {h}\)\(= +\infty \)

La derivata è uguale alla derivata sinistra, ma sono entrambe \( +\infty \) quindi il punto \(P (0;3) \) è un punto a tangente verticale per la funzione \( f(x) \)

Quindi la risposta è VERO. Il punto \(P (0;3) \) è un punto a tangente verticale per \( f(x) \)