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Derivate. Ricerca dei massimi, minimi e flessi 11 set 2015
La ricerca dei massimi, minimi e flessi è importante per fare uno studio di funzione dettagliato. Troviamo i massimi e i minimi relativi studiando il segno della derivata prima, che corrisponde allo studio della monotonia della funzione. Troviamo i flessi a tangente orizzontale studiando il segno della derivata seconda, cioè studiando la concavità della funzione.
La sfidaUn tratto dei percorsi di motocross più difficili in Italia è quello di equazione \( s (t) = sen \, t – |cos \, t |, t \in [0,2 \pi ]\) |
Massimi e minimi assoluti e relativi
Il massimo è il valore più grande che una funzione assume in un intervallo. Se questo intervallo è tutto il dominio il massimo è assoluto, se è un sottoinsieme del dominio, allora il massimo è relativo.
Il minimo è il valore più piccolo che una funzione assume in un intervallo. Come per il massimo, il minimo sarà assoluto se l’intervallo è tutto il dominio della funzione, relativo se è un sottoinsieme del dominio.
Ricerca dei massimi e minimi relativi
Per la ricerca dei massimi e minimi relativi di una funzione f devi:
- calcolare la derivata prima della funzione \( f′(x)\);
- studiare la monotonia della funzione, cioè trovare il segno della derivata prima \( f′(x)≥0\):
- i punti in cui si annulla la derivata \( f′(x)=0\) sono i punti stazionari, cioè i candidati ad essere punti di massimo o minimo
- in un punto stazionario:
- se il segno della derivata passa da maggiore a minore allora il punto è un massimo relativo;
- se il segno della derivata passa da minore a maggiore allora è un minimo relativo.
Flessi
Il flesso di una funzione è un punto in cui la funzione cambia la sua concavità.
Ricerca dei flessi
Per la ricerca dei flessi a tangente orizzontale di una funzione devi:
- calcolare la derivata seconda della funzione \(f″(x)\);
- studiare la concavità della funzione, cioè studiare il segno della derivata seconda \(f″(x)≥0\):
- i punti in cui si annulla la derivata seconda \(f″(x)=0\) sono i candidati ad essere punti di flesso a tangente orizzontale; se la derivata seconda cambia di segno in un intorno di questi punti, allora sono dei punti di flesso a tangente orizzontale.
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