Problemi di massimo e minimo

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In questo articolo sulle derivate trovi tutto sui problemi di massimo e minimo o problemi di ottimizzazione. Sono problemi in cui devi cercare il valore massimo o minimo di una funzione in un intervallo. Leggi gli appunti e impara a impostare i problemi di massimo e minimo e a risolverli facendo attenzione a costruire la funzione migliore, ossia quella che ti permette di fare meno calcoli.

La sfida

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Amazon ha a disposizione un foglio di cartone quadrato con area di 144 cm² con cui costruire una scatola aperta per impacchettare il libro.
Guarda l’immagine alla lezione Problemi di massimo e minimo.

Sai dire quali sono le dimensioni del tuo libro, visto che entra perfettamente nella scatola di volume massimo che si può costruire?

Come impostare i problemi di massimo e minimo

I problemi di massimo e minimo sono quelli che hanno l’obiettivo di cercare massimi e minimi assoluti di una funzione in un intervallo.
Possiamo essere legati alla geometria euclidea, alla geometria solida, analitica, alla trigonometria… In tutti ti verrà chiesto di calcolare il valore che “massimizza” (o minimizza), ossia rendere massima (o minima) una funzione.
I problemi di massimo e minimo sono anche detti problemi di ottimizzazione, perché ci permettono di trovare il valore “ottimale” per risolvere alcune situazioni descritte dal problema.
La parte più difficile è impostare il problema, cioè capire e poi costruire la migliore strategia per la risoluzione. Migliore significa più veloce e con meno calcoli possibili.

Il procedimento per impostare i problemi di massimo e minimo

Fai un disegno che rappresenti il testo del problema;
Leggi e rileggi bene il testo;
Scrivi tutte le formule che potrebbero servirti;
Scegli la \( x\), cioè scegli la variabile indipendente della tua funzione (trova quella che ti sembra la migliore possibile con l’obiettivo di fare meno calcoli);
Trova le limitazioni, ossia l’insieme dei possibili valori che può assumere la \(x\).

Guarda come utilizzare questo procedimento se vuoi trovare il rettangolo di di area massima fra tutti quelli inscritti nella circonferenza di equazione \( x^2 + y^2 = 9 \) alla lezione Problemi di massimo e minimo.

Come risolvere i problemi di massimo e minimo

Dopo aver impostato il problema, devi risolverlo.

Il procedimento per risolvere i problemi di massimo e minimo

Trova i massimi e i minimi assoluti della funzione nell’intervallo delle limitazioni;
Trova la soluzione finale del problema.

Esercizio svolto con i problemi di massimo e minimo

Ecco il problema: un foglio di carta deve contenere un’area di stampa di 50 cm², i margini superiore ed inferiore di 4 cm e i margini laterali di 2 cm. Quali sono le dimensioni minime del foglio di carta che possiamo utilizzare?
Segui i passaggi per impostare il problema di massimo e minimo.
Disegna il foglio, inserisci tutti i dati, scrivi la formula per risolvere il problema e scegli chi è \( x \).
Poi scrivi le limitazioni e trova i massimi e minimi della funzione!

Guarda l’esercizio svolto alla lezione Problemi di massimo e minimo.