Ellisse: tutte le formule fondamentali

4 mag 2015

La definizione di ellisse

L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per cui è costante cui somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi.

L’equazione dell’ellisse con centro nell’origine degli assi cartesiani

• Ellisse con i fuochi sull’asse \( x \):
  \( \frac {x^2}{a^2} +  \frac {y^2}{b^2} = 1 \) con \( a^2>b^2 \)
• Ellisse con i fuochi sull’asse \( y \):
  \( \frac {x^2}{a^2} +  \frac {y^2}{b^2} = 1 \) con \( b^2>a^2 \)

Guarda come ricavare l’equazione dell’ellisse!

Le coordinate dei fuochi dell’ellisse

• se \( a^2>b^2 \) i fuochi hanno coordinate \( F_1 = (-c, 0), F_2 = (+c,0) \)
  con \( c= \sqrt {a^2 – b^2} \)
• se \( b^2>a^2 \) i fuochi hanno coordinate \( F_1 = (0, -c), F_2 = (0,+c) \)
  con \( c= \sqrt {b^2 – a^2} \)

Le coordinate dei vertici

I vertici sono le intersezioni dell’ellisse con gli assi: sono punti simmetrici (a due a due) rispetto all’origine!
Le coordinate quindi sono \( ( \pm a,0) \) e \( (0, \pm b)\)
E se nel momento in cui ti trovi davanti al foglio bianco non te le ricordi?
Abbiamo escogitato un trucchetto per ricavare le coordinate.
Metti a sistema l’equazione dell’ellisse con \( y = 0 \) per trovare l’intersezione con l’asse \( x \):

\( \begin{cases} \frac {x^2}{a^2} +  \frac {y^2}{b^2} = 1 \\ y = 0 \end{cases} \) \( \Rightarrow \begin{cases} \frac {x^2}{a^2} = 1 \\ y = 0 \end{cases} \) \( \Rightarrow \begin{cases} x = \pm a \\ y = 0 \end{cases} \)

Hai ricavato le coordinate dei vertici \( A_1 (a,0) \) e \( A_2 (- a, 0)\)

Fai lo stesso con la retta \( x = 0 \) per trovare l’intersezione con l’asse \( y \):

\( \begin{cases} \frac {x^2}{a^2} +  \frac {y^2}{b^2} = 1 \\ x = 0 \end{cases} \) \( \Rightarrow \begin{cases} \frac {y^2}{b^2} = 1 \\ x = 0 \end{cases} \) \( \Rightarrow \begin{cases} y = \pm b \\ x = 0 \end{cases} \)

Hai ricavato le coordinate dei vertici \( B_1 (0, b) \) e \( B_2 (0, -b)\)

Lunghezza dell’asse maggiore e dell’asse minore

L’asse maggiore di un’ellisse è quello in cui si trovano i fuochi.
Per l’ellisse con i fuochi sull’asse \( x \):

• la lunghezza dell’asse maggiore è \( 2a \) e la lunghezza dell’asse minore è \( 2b \).

Per l’ellisse con i fuochi sull’asse \( y \):

• la lunghezza dell’asse maggiore è \( 2b \) e la lunghezza dell’asse minore è \( 2a \).

Distanza focale

La distanza focale è sempre \( 2c \).

Eccentricità

L’eccentricità \( e \) dell’ellisse è il rapporto tra la distanza focale \( 2c \) e l’asse maggiore.
Se l’ellisse ha i fuochi sull’asse \( x \):
\( e = \frac {\text{distanza focale}}{\text{asse maggiore}} \)
\( e = \frac {2c}{2a} = \frac {c}{a} \)

Se l’ellisse ha i fuochi sull’asse \( y \):
\( e = \frac  {\text{distanza focale}}{\text{asse maggiore}} \)
\( e = \frac {2c}{2b} = \frac {c}{b} \)

Guarda tutti gli esercizi spiegati passo a passo!