Equazioni differenziali di primo ordine

3 giu 2015

Che cos’è un’equazione differenziale?

Un’equazione differenziale è un’equazione del tipo
\(y ‘ ‘ ‘ (x) – y (x) = x \) (3° ordine)
\(y” (x) + xy = x\) (2° ordine)
\(y” + (sen x)y’ = \frac {x^4 \sqrt x }{1+x^2}\)(2° ordine)
\(y’ (x) = ln x\) (1° ordine)
Nei termini dell’equazione possono comparire le derivate di qualsiasi ordine della funzione \(y(x)\).
Per risolvere un’equazione differenziale dobbiamo trovare la funzione \(y (x)\) che sostituita nell’equazione dia un’identità. quindi in queste equazioni l’incognita è la funzione \(y (x)\)!
L’ordine di un’equazione differenziale è data dall’ordine massimo della derivata che compare nell’equazione differenziale.
Per semplicità, possiamo scrivere \(y\) al posto di \(y(x)\), \(y’\) al posto di \(y'(x)\) ecc…

Scopri tutto sulle equazioni differenziali, come risolvere le equazioni differenziali di primo e secondo ordine e i problemi di Cauchy!

Equazioni differenziali del tipo \(y’ =f (x)\)

Consideriamo le equazioni differenziali di primo ordine (cioè la derivata di ordine massimo è 1) di questo tipo:
\(y’ =x \,\ y’ =ln x \,\ y’= \frac {x^4 \sqrt x }{1+x^2} \,\ y’ = \frac{tg x}{\sqrt{x-1}} \)
Quindi consideriamo dell’equazione differenziale di primo ordine della forma \(y’ = f(x) \)
come troviamo la funzione incognita \( y (x)\)? Ricordiamoci che possiamo scrivere \( y’ = \frac{dy}{dx}\) quindi l’equazione differenziale \(y’ = f(x) \) diventa
\( \frac {dy}{dx} = f(x) \Rightarrow dy = f(x) d x \)
Ora cosa possiamo fare? Integrare da entrambe le parti \( \int dy = \int f(x) dx \)
Quindi le soluzioni di \(y’ =f(x)\) sono rappresentate dalla funzione \( y = \int f(x)dx\)
Parliamo al plurale di soluzioni infatti \( \int f(x) dx = F (x) + c\) dove \( c\) può assumere infiniti valori, quindi abbiamo infinite soluzioni!

Esercizio svolto

Risolvi l’equazione differenziale \(y’ =x\)
È un’equazione differenziale del tipo \(y’ = f(x)\)
Scrivi \( y’= \frac{dy}{dx}\), quindi l’equazione diventa \( \frac {dy}{dx} =x \Rightarrow dy =x dx\)
Integra da entrambe le parti \( \int dy = \int x dx \) e risolvi: \( y = \frac{x^2}{2} + c\)
Le soluzioni dell’equazione differenziale \( y’ =x \) sono le funzioni \( y = \frac{x^2}{2}+c\)