Equazioni differenziali di secondo ordine e problemi di Cauchy

29 giu 2015

Equazioni differenziali: la spiegazione completa con esercizi risolti e spiegati. Equazioni differenziali di primo e secondo ordine e i problemi di Cauchy.
Guarda la prima parte della spiegazione sulle equazioni differenziali di primo ordine del tipo \(y’=f(x)\), a variabili separabili e lineari.

In questo post spieghiamo come risolvere le equazioni differenziali del tipo \( y″=f(x)\), che cosa sono e come si risolvono le equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti, da che cosa è composto un problema di Cauchy di secondo ordine.

Equazioni differenziali del tipo \( y″=f(x)\)

Le equazioni differenziali del tipo \(y″=f(x)\) sono di secondo ordine perché compare la derivata seconda.

Come risolvere le equazioni differenziali di secondo ordine del tipo \(y″=f(x)\):

1. scrivi la derivata seconda come la derivata prima rispetto a \(x\) di \( y”=\frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right)\)
2. riscrivi l’equazione come \(\frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right)=f(x) \Rightarrow d \frac{dy}{dx}=f(x)dx \)
3. risolvi integrando due volte: \(y=\int \left( \int f(x) dx \right) dx \)

Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti

Come risolvere le equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti della forma \(y″+ay′+by=0\):

1. sostituisci \(y=e^{\lambda x}\) e le sue derivate \(y”= \lambda^2 e^{\lambda x},\) …
2. risolvi l’equazione caratteristica associata all’equazione differenziale \(\lambda^2 + a \lambda+b=0 \)
3. trova le soluzioni a seconda del segno del \(\Delta\) dell’equazione caratteristica:
   • \(\Delta > 0\)\(y(x)=c_1e^{\lambda_1 x}+c_2e^{\lambda_2 x}\)
   • \(\Delta = 0\) \( y(x)=c_1e^{\lambda_1 x}(c_1+c_2 x)\)
   • \(\Delta < 0\) abbiamo due soluzioni complesse coniugate \(\alpha \pm i \beta\) e le soluzioni dell’equazione sono: \(y(x)= e^ {\alpha x} \left[c_1 cos(\beta x)+ c_2 sen(\beta x) \right]\)

Esercizio con le equazioni differenziali lineari omogenee

Trova le soluzioni dell’equazione differenziale
\( y”- 3y’ + sy = 0 \)
È un’equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti \( y”- ay’ + by = 0 \) con \(a= -3 \) e \( b = 2 \).
Risolvi l’equazione caratteristica associata:
\( \lambda_2 – 3\lambda + 2 =0\)\( \rightarrow \lambda_{1,2} \frac {3 \pm \sqrt {9-8}}{2}\)\( = \frac{3 \pm 1}{2}\)
Dato che l’equazione caratteristica ha due soluzioni distinte
\(\lambda_1 = 1\) e \(\lambda_2 = 2\) le soluzioni dell’equazione differenziale sono \( y(x)=c_1e^x +c_2e^{2x}\) con \(c_1\) e \(c_2\) costanti.

Allenati subito con gli esercizi e confronta i tuoi risultati!

Problemi di Cauchy

Un problema di Cauchy del secondo ordine è composto da:

• un’equazione differenziale di secondo ordine;
• due condizioni iniziali, una per la funzione e una per la derivata prima.

Guarda la spiegazione completa e gli esempi spiegati!