Equazioni goniometriche elementari

Le equazioni e disequazioni goniometriche sono uguaglianze e disuguaglianze in cui compaiono funzioni goniometriche e gli angoli sono l’incognita.

La sfida

Se un raggio luminoso attraversa l’aria ed entra nell’acqua, viene rifratto secondo la legge di Snell:
\( n_1 sen (\alpha_1) = n_2 sen (\alpha_2)\)
Dove \(n_1\) e \(n_2\) sono gli indici di rifrazione e dipendono dalle proprietà dell’aria e dell’acqua.
Quest’anno si festeggia la fine dell’anno con un falò in spiaggia.
Stai giocando con la ragazza che ti piace in riva al mare e fra uno scherzo e l’altro le cadono i sandali in acqua.
Da bravo gentiluomo prendi una torcia e inizi a cercarli. Il raggio luminoso della torcia è inclinato di \(60° \) rispetto al mare e riesce ad illuminare i sandali sul fondale.
Qual’è l’angolo \(x\) fra il raggio rifratto e la superficie dell’acqua?
Sai che \( n_{aria} = 1,00 \) e \( n_{acqua} = 1,33 \)

Equazioni goniometriche

Un’equazione goniometrica è un’uguaglianza dove l’incognita è l’argomento di una funzione goniometrica.
Le equazioni goniometriche fondamentali sono quelle della forma
\(\, sen x =a \,\) \( \, cos x = b \,\) \(\, tg x = c \, \) \( \, cotgx = d \,\) \(\forall \, a, b, c, d \in \mathbb {R} \)

Per risolvere le equazioni goniometriche elementari devi ripassare la tabella dei valori delle principali funzioni goniometriche

Equazione \( sen \, x = a\)

Risolviamo le equazioni del tipo \( sen x = a\).
\( sen x \) è sempre compreso tra \( – 1\) e \( 1\): l’intervallo \( [-1, 1] \) è il suo codominio!
L’equazione \( sen x = a\) è determinata, cioè ammette soluzione, se e solo se \( -1 \le a \le 1\) altrimenti è impossibile.
Quando la soluzione dell’equazione esiste, non è unica. Infatti nell’intervallo \( [0, 2 \pi] \) ad un certo valore del seno corrispondono sempre due angoli: l’angolo \( x_1 = \alpha \) e \( x_2 = \pi – \alpha \).
I due angoli si ripetono ogni \( 2\pi\), che è la periodicità del seno.
Quindi, per \(-1 \le a \le 1 \) l’equazione \( sen x = \alpha \) ammette le soluzioni \( x = \alpha + 2 k \pi \) e \( x = \pi – \alpha + 2 k \pi \, (k \in \mathbb{z}) \)

Guarda l’esercizio risolto e spiegato alla lezione Equazioni goniometriche elementari.

Equazione \( cos \, x = b\)

Anche l’equazione \(cos x= b \) è determinata se e sole se \(– 1 \le b \le 1\), altrimenti è impossibile. Come il seno, anche il coseno ha codominio \([-1, 1] \).
Nell’intervallo \([0, 2\pi]\) ad uno stesso valore del coseno corrispondono due angoli, che si ripetono ogni \(2\pi\), che è la periodicità del coseno.

Completa la spiegazione dell’equazione \( cos x = b\) e guarda gli esempi alla lezione Equazioni goniometriche elementari.

Equazione \( tg \, x = c\)

Dato che la tangente assume tutti i valori reali (ha come codominio tutto \(\mathbb{R})\), non ci sono restrizioni su \(c \). Inoltre la tangente ha periodo \( \pi\), quindi le soluzioni si ripeteranno uguali ogni \( k \pi , \, k \in \mathbb{Z}\).
L’equazione \( tg x= c \) è determinata \( \forall \, c \in \, \mathbb{R} \) ed ha soluzione \(x= \alpha + k \pi \, k \in \mathbb{Z}\)
Ma se \( \alpha \) non è conosciuto come procedere?

Guarda come procedere e fai gli esercizi alla lezione Equazioni goniometriche elementari.

Equazione \( cotg \, x = d\)

Possiamo risolvere l’equazione \( cotg x =d \)per ogni valore di \(d \), dato che il codominio è tutto \( \mathbb{R}\). Inoltre anche la cotangente ha periodo \( \pi\), quindi le soluzioni si ripeteranno uguali ogni \( k \pi , \, k \in \mathbb{Z}\).

L’equazione \( cotg x= d \) è determinata \( \forall \, d \in \, \mathbb{R} \) e ha soluzione \(x= \alpha + k \pi \, k \in \mathbb{Z}\)

Ma se \( \alpha \) non è conosciuto come procedere?

Guarda come procedere e fai gli esercizi alla lezione Equazioni goniometriche elementari.