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Le equazioni e disequazioni goniometriche sono uguaglianze e disuguaglianze in cui compaiono funzioni goniometriche e gli angoli sono l’incognita. In questo post puoi capire cosa sono le equazioni goniometriche lineari e quanti e quali metodi di risoluzione conviene applicare nelle diverse situazioni.
La sfidaDurante il falò di fine anno ci sono sempre le compagne di classe romantiche e anche un po’ secchione che si trovano in riva al mare a fare il bilancio dell’anno appena concluso. |
Le equazioni goniometriche lineari sono le equazioni del tipo \(a \, sen \, x + b \, cos \, x + c = 0\) con \(a,b,c \in \mathbb{R} \) che non si annullano contemporaneamente.
Se \(a = 0 \wedge b \ne 0 \), o viceversa, l’equazione è elementare.
Se \(a \ne 0 \wedge b \ne 0 \wedge c \ne 0 \), o viceversa, l’equazione è elementare.
Per risolvere un’equazione goniometrica lineare si possono applicare diversi metodi:
Vediamo come risolvere le equazioni goniometriche con i due metodi.
Disegniamo la circonferenza goniometrica e a retta associata all’equazione lineare; le soluzioni sono i punti di intersezione fra la retta e la circonferenza.
Se nell’equazione lineare \(a \, sen \, x + b \, cos \, x + c = 0\) sostituiamo \(cos\,x= X \) e \(sen\, x= Y \) otteniamo l’equazione di una retta \(a Y + b X + c = 0\) nel piano \( OXY\). Facciamo le stesse sostituzioni nella prima relazione fondamentale della trigonometria \(cos^2 x + sen^2 x= 1\). Cosa otteniamo? La circonferenza goniometrica \(X^2 + Y^2= 1\)
\(sen\, x\) e \(cos \, x\) devono soddisfare contemporaneamente le due equazioni. Completa la spiegazione e guarda come risolvere gli esercizi grazie agli esempi svolti che trovi alla lezione Equazioni goniometriche lineari e metodi di risoluzione
Dividendo per delle funzioni goniometriche o applicando delle formule, quindi facendo dei calcoli algebrici, trasformiamo l’equazione lineare in un’equazione elementare.
Ci sono tre metodi algebrici, uno da usare quando \( c=0\), uno quando \( c \ne 0\) ed uno che vale sempre ovvero il metodo dell’angolo aggiunto.
Completa la spiegazione e guarda come risolvere gli esercizi grazie agli esempi svolti che trovi alla lezione Equazioni goniometriche lineari e metodi di risoluzione per tutti gli altri metodi:
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