Equazioni goniometriche lineari e metodi di risoluzione

Equazioni goniometriche lineari metodi risoluzione

Le equazioni e disequazioni goniometriche sono uguaglianze e disuguaglianze in cui compaiono funzioni goniometriche e gli angoli sono l’incognita. In questo post puoi capire cosa sono le equazioni goniometriche lineari e quanti e quali metodi di risoluzione conviene applicare nelle diverse situazioni.

La sfida

Durante il falò di fine anno ci sono sempre le compagne di classe romantiche e anche un po’ secchione che si trovano in riva al mare a fare il bilancio dell’anno appena concluso.
Ad un tratto vedono due delfini che giocano in lontananza!
A Stella, la più fantasiosa delle tre amiche, sembra che un delfino si muova lunga la curva \( y =sen \, x\). Gaia osserva prontamente che, allora, l’altro si sta muovendo lungo la curva \( y = cos \, x \), infatti non sono perfettamente sincronizzati ma la loro traiettoria è simile!
La teza amica, Matilde, si chiede quindi… si incontreranno mai i due delfini?

Equazioni goniometriche lineari

Le equazioni goniometriche lineari sono le equazioni del tipo \(a \, sen \, x + b \, cos \, x + c = 0\) con \(a,b,c \in \mathbb{R} \) che non si annullano contemporaneamente.

Se \(a = 0 \wedge b \ne 0 \), o viceversa, l’equazione è elementare.
Se \(a \ne 0 \wedge b \ne 0 \wedge c \ne 0 \), o viceversa, l’equazione è elementare.

Per risolvere un’equazione goniometrica lineare si possono applicare diversi metodi:

metodo grafico
metodo algebrico

Vediamo come risolvere le equazioni goniometriche con i due metodi.

Equazioni goniometriche lineari: metodo grafico

Disegniamo la circonferenza goniometrica e a retta associata all’equazione lineare; le soluzioni sono i punti di intersezione fra la retta e la circonferenza.

Se nell’equazione lineare \(a \, sen \, x + b \, cos \, x + c = 0\) sostituiamo \(cos\,x= X \) e \(sen\, x= Y \) otteniamo l’equazione di una retta \(a Y + b X + c = 0\) nel piano \( OXY\). Facciamo le stesse sostituzioni nella prima relazione fondamentale della trigonometria \(cos^2 x + sen^2 x= 1\). Cosa otteniamo? La circonferenza goniometrica \(X^2 + Y^2= 1\)
\(sen\, x\) e \(cos \, x\) devono soddisfare contemporaneamente le due equazioni. Completa la spiegazione e guarda come risolvere gli esercizi grazie agli esempi svolti che trovi alla lezione Equazioni goniometriche lineari e metodi di risoluzione

Equazioni goniometriche lineari: metodo algebrico

Dividendo per delle funzioni goniometriche o applicando delle formule, quindi facendo dei calcoli algebrici, trasformiamo l’equazione lineare in un’equazione elementare.
Ci sono tre metodi algebrici, uno da usare quando \( c=0\), uno quando \( c \ne 0\) ed uno che vale sempre ovvero il metodo dell’angolo aggiunto.

Completa la spiegazione e guarda come risolvere gli esercizi grazie agli esempi svolti che trovi alla lezione Equazioni goniometriche lineari e metodi di risoluzione per tutti gli altri metodi: