Equazioni goniometriche lineari e metodi di risoluzione

18 set 2015

Le equazioni e disequazioni goniometriche sono uguaglianze e disuguaglianze in cui compaiono funzioni goniometriche e gli angoli sono l’incognita. In questo post puoi capire cosa sono le equazioni goniometriche lineari e quanti e quali metodi di risoluzione conviene applicare nelle diverse situazioni.

Equazioni goniometriche lineari

Le equazioni goniometriche lineari sono le equazioni del tipo \(a \, sen \, x + b \, cos \, x + c = 0\) con \(a,b,c \in \mathbb{R} \) che non si annullano contemporaneamente.

Se \(a = 0 \wedge b \ne 0 \), o viceversa, l’equazione è elementare.
Se \(a \ne 0 \wedge b \ne 0 \wedge c \ne 0 \), o viceversa, l’equazione è elementare.

Per risolvere un’equazione goniometrica lineare si possono applicare diversi metodi:

• metodo grafico
• metodo algebrico

Vediamo come risolvere le equazioni goniometriche con i due metodi.

Equazioni goniometriche lineari: metodo grafico

Disegniamo la circonferenza goniometrica e a retta associata all’equazione lineare; le soluzioni sono i punti di intersezione fra la retta e la circonferenza.

Se nell’equazione lineare \(a \, sen \, x + b \, cos \, x + c = 0\) sostituiamo \(cos\,x= X \) e \(sen\, x= Y \) otteniamo l’equazione di una retta \(a Y + b X + c = 0\) nel piano \( OXY\). Facciamo le stesse sostituzioni nella prima relazione fondamentale della trigonometria \(cos^2 x + sen^2 x= 1\). Cosa otteniamo? La circonferenza goniometrica \(X^2 + Y^2= 1\)
\(sen\, x\) e \(cos \, x\) devono soddisfare contemporaneamente le due equazioni. Completa la spiegazione e guarda come risolvere gli esercizi grazie agli esempi svolti che trovi alla lezione Equazioni goniometriche lineari e metodi di risoluzione

Equazioni goniometriche lineari: metodo algebrico

Dividendo per delle funzioni goniometriche o applicando delle formule, quindi facendo dei calcoli algebrici, trasformiamo l’equazione lineare in un’equazione elementare.
Ci sono tre metodi algebrici, uno da usare quando \( c=0\), uno quando \( c \ne 0\) ed uno che vale sempre ovvero il metodo dell’angolo aggiunto.

Completa la spiegazione e guarda come risolvere gli esercizi grazie agli esempi svolti che trovi alla lezione Equazioni goniometriche lineari e metodi di risoluzione per tutti gli altri metodi:

• Equazioni goniometriche lineari: metodo algebrico – caso \( c=0\)

• Equazioni goniometriche lineari: metodo algebrico – caso \( c \ne 0\)

• Equazioni goniometriche lineari: metodo algebrico dell’angolo aggiunto