Equazioni goniometriche riconducibili a equazioni goniometriche elementari 5 ago 2015

Tra i compiti delle vacanze devi ripassare proprio le equazioni riconducibili a equazioni goniometriche elementari? Questi sono gli appunti che stavi cercando! In questo post puoi imparare il metodo di sostituzione e il metodo del confronto degli argomenti per riportare un’equazione goniometrica qualunque all’apparenza, a un’equazione goniometrica elementare.

La sfida

Durante il falò di fine anno ci sono sempre le compagne di classe romantiche e anche un po’ secchione che si trovano in riva al mare a fare il bilancio dell’anno appena concluso.
Ad un tratto vedono due delfini che giocano in lontananza! A Stella, la più fantasiosa delle tre, sembra che un delfino si muova lungo la curva \( y= sen x \), Gaia osserva che , allora l’altro si sta muovendo lungo la curva \( y= cos x \), infatti non sono perfettamente sincronizzati ma la loro traiettoria è simile!
La tua amica, Matilde, si chiede quindi… si incontreranno mai i due delfini?

Equazioni goniometriche riconducibili a equazioni goniometriche elementari: metodo di sostituzione

Ci sono equazioni goniometriche che apparentemente non sono elementari, ma che sono facilmente riconducibili ad equazioni goniometriche elementari.

Esempio con il metodo di sostituzione

Risolviamo l’equazione \( cos ( \frac{\pi}{3} – x ) = \frac{1}{2}\)
Dobbiamo procedere come in alcune equazioni elementari, sostituendo l’incognita \(x\) con l’incognita \( t = \frac{\pi}{3} – x\).
L’equazione \( cos t = \frac{1}{2} \) ha soluzioni \( t = \frac{\pi}{3} + 2 k \pi\) e \( t = – \frac{\pi}{3} + 2 k \pi, \, k \in \mathbb{Z}\).
Sostituendo all’indietro otteniamo, per la prima \( \frac{\pi}{3} – x = \frac{\pi}{3} + 2 k \pi \Rightarrow x = – 2 k \pi = 2 k \pi \)
Ma scrivere \( x = – 2 k \pi \) o \( x = 2 k \pi \) è la stessa cosa? Scoprilo alla lezione completa sulle Equazioni goniometriche riconducibili a equazioni goniometriche elementari.

Equazioni goniometriche riconducibili a equazioni goniometriche elementari: metodo del confronto di argomenti

Se nell’equazione compaiono funzioni goniometriche di due angoli diversi possiamo ricondurre l’equazione a una equazione goniometrica elementare con il metodo algebrico del confronto: confrontiamo gli argomenti delle funzioni goniometriche ragionando sugli angoli associati.

Esempio con il metodo del confronto di argomenti

Risolviamo l’equazione \( sex x = sex ( \frac{\pi}{6} + 4x \)
Leggi e studia l’esercizio risolto e spiegato alla lezione completa sulle Equazioni goniometriche riconducibili a equazioni goniometriche elementari.

Esempio con il metodo del confronto di argomenti

Risolviamo l’equazione \( sen x = – sen ( – \frac {\pi}{6} + 3x )\)-.
La soluzione è \( x = \frac{\pi}{24} + 2 k \pi \). Ma come ci siamo arrivati?
Osserva questo esercizio risolto e spiegato e poi prova a risolvere da solo tutti gli altri esercizi che trovi alla lezione completa sulle Equazioni goniometriche riconducibili a equazioni goniometriche elementari.