Formule goniometriche: seno e coseno

13 mag 2015

Seno Coseno goniometria formule

La sfida

C’è una nuova giostra in città e decidi tu di provarla!
Ecco come funziona: una capsula è collegata con una barra d’acciaio lunga \( 10 \, m \) a un perno.
Tu sei sdraiato dentro la capsula che sale fino all’altezza massima, poi scende di nuovo a terra.
Mentre stai facendo il tuo primo giro però, si blocca!
La barra d’acciaio è inclinata di \( 60° \) gradi rispetto al terreno.
A che altezza ti trovi?

 

Rappresentazione e definizione di seno e coseno

Circonferenza goniometrica

La circonferenza goniometrica è una circonferenza con centro nell’origine e il raggio  uguale a  \( 1 \). La sua equazione è \( x^2+y^2=1 \)
Sulla circonferenza goniometrica (anche definita circonferenza trigonometrica) puoi disegnare tutti gli angoli ed i corrispondenti archi di circonferenza.
Nella slide 7 abbiamo evidenziato gli angoli in radianti orientati positivamente (perché crescono in senso antiorario) che userai più spesso

Ripassa tutto sulla misura in gradi, in radianti e come passare da gradi a radianti.

Seno, coseno e prima relazione fondamentale

Ogni angolo sulla circonferenza goniometrica è individuato da un lato orizzontale, sull’asse \( x \), che incontra la circonferenza in \( A(1;0) \) e dal secondo lato che incontra la circonferenza in un unico punto \( P(x_P; y_P) \).
Ad ogni angolo \( \alpha \), quindi, possiamo associare univocamente un punto \( P \) in cui:
\(\begin{cases}x_P=cos \, \alpha \\ y_P=sen \, \alpha \end{cases} \)

Da questa associazione puoi dire che:

  • \( \begin{cases}-1 \le x_P \le 1 \Rightarrow -1 \le cos \, \alpha \le 1 \\ -1 \le y_P \le 1 \Rightarrow -1 \le sen \, \alpha \le 1 \end{cases} \)
    perché la circonferenza goniometrica ha raggio \( 1\);
  • \( cos^2 \ \alpha + sen^2 \ \alpha=1 \) perché \( P(x_P=cos \, \alpha; \, y_P=sen \, \alpha) \) appartiene alla circonferenza di equazione \( x^2+y^2=1 \)questa è la prima relazione fondamentale della goniometria

Seno e coseno degli angoli principali
Tabella seno e coseno

Esercizio con seno, coseno e prima relazione fondamentale

Prendi il punto \( P \) di ascissa \( x_P = \frac{1}{2} \) della circonferenza e traccia l’angolo \( \alpha \) corrispondente.
Quindi puoi dire che \( cos \, \alpha = x_p = \frac{1}{2} \) .
Trova il valore di \( sen \, \alpha = y_P \)
Utilizza la relazione fondamentale \( cos^2 \ \alpha + sen^2 \ \alpha=1 \)
\( cos^2 \ \alpha + sen^2 \ \alpha=1 \Rightarrow sen \, \alpha = \sqrt{1 – \frac {1}{4}} = \frac { \sqrt 3 }{2} \)
Quindi \( \alpha \) è l’angolo che ha \( sen \, \alpha = \frac { \sqrt 3 }{2} \) e \( cos = \frac {1}{2} \).
Hai anche trovato le coordinate del punto \( P \left ( \frac {1}{2} ; \frac { \sqrt 3 }{2} \right ) \)

Esercitati su angoli, seno e coseno con 3 livelli di esercizi!

Se sei curioso di sapere come finisce la sfida…vai qui!