Funzione continua, calcolo dei limiti e forme indeterminate

26 giu 2015

Credi che la matematica abbia dei limiti invalicabili? Dopo aver letto questo post la matematica non avrà più limiti. Scoprirai la definizione di una funzione continua, le operazioni con i limiti e le forme indeterminate.

Definizione di una funzione continua

Chiamiamo una funzione \( f(x)\), definita in un intervallo \( [a,b]\), continua in un punto \( x_0\) appartenente all’intervallo se:

• Esiste finito il limite per \( x \rightarrow x_0 \) di \(f(x)\), cioè il limite destro \( \lim\limits_{x \to x_o^+} \, f(x)\) e il limite sinistro \(  \lim\limits_{x \to x_o^- }\, f(x)\) esistono e sono uguali;
• Questo limite è uguale al valore che ha la funzione se sostituisco \( x_0 \) al posto di \( x\) nella sua espressione:
  \(  \lim\limits_{x \to x_o }\, f(x) = f(x_0) \)

Se questo vale per ogni punto all’interno dell’intervallo \( [a,b] \) la funzione si dice continua nell’intervallo \(  [a,b] \).

Questa definizione ci permette di calcolare il limite di una funzione continua, perché basta sostituire il valore a cui tende \( x \) nell’espressione della funzione stessa

Guarda tutti gli esempi!

Operazioni con i limiti

Le operazioni che si possono fare con i limiti di funzioni diverse che tendono allo stesso \( x_0 \).

1. Il limite della somma di funzioni;
2. Il limite del prodotto di funzioni;
3. Il limite di funzioni elevate a potenza da altre funzioni;
4. Il limite del reciproco della funzione ( cioè \( \frac{1}{f (x)} \));
5. Il limite del rapporto tra funzioni.

Se i limiti delle funzioni sono finiti allora il limite della somma/prodotto è la somma/prodotto dei limiti delle singole funzioni.
Il problema nasce se i limiti sono \( +\infty \)\( -\infty \). Queste situazioni particolari sono chiamate forme indeterminate.

Guarda ora tutti i casi possibili e gli esempi spiegati!

Forme indeterminate

Sono i casi particolari in cui per calcolare il limite dobbiamo prima scrivere la funzione in modo diverso per poi poter usare le operazioni con i limiti.
Le forme indeterminate sono sette:

1. \( \infty -\infty\)
2. \( 0 \cdot \infty \)
3. \( \frac{\infty} {\infty}\)
4. \( \frac{0}{0}\)
5. \( \infty^0 \)
6. \( 0^\infty \)
7. \( 1^\infty \)

L’unico modo per studiarle è osservare come le funzioni si comportano e cercare di esprimerle in modo diverso, per capire qual è il valore del limite.
Guarda subito la lezione sulle forme indeterminate!