Funzioni goniometriche inverse 1 lug 2015

Le funzioni goniometriche inverse sono le funzioni inverse delle funzioni seno, coseno, tangente e cotangente. Si chiamano arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcocotangente. Vediamo quali sono i sottoinsiemi del dominio delle funzioni goniometriche in cui sono invertibili e troviamo le caratteristiche delle funzioni inverse.

Tabella: tutte le caratteristiche delle funzioni seno, coseno, tangente e cotangente

Funzione gioniometrica inversa: funzione arcoseno

Funzione arcoseno: definizione, dominio e codominio dell’arcoseno

\( f(x)=sen \, x \) è una funzione biunivoca nell’intervallo \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right]\), quindi è invertibile se restringiamo il suo dominio all’intervallo \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right]\). La funzione inversa si chiama arcoseno ed è indicata con \(g(x)=f^{-1}(x)=arcsen \, x\).

Il dominio dell’arcoseno è \([−1,1]\), che era il codominio della funzione seno.

Il codominio dell’arcoseno è \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right]\) che è il sottoinsieme del dominio del seno in cui la funzione è invertibile.

Guarda subito la spiegazione completa!

Funzione gioniometrica inversa: funzione arcocoseno

Funzione arcocoseno: definizione, dominio e codominio dell’arcocoseno

\(f(x)=cos \, x\) è una funzione invertibile nel sottoinsieme del dominio in cui è biunivoca, cioè \(\left[0,\pi \right]\). La funzione inversa si chiama arcocoseno ed è indicata con \(g(x)=f^{-1}(x)=arccos\ x\).

Guarda subito il grafico dell’arcocoseno!

Il dominio dell’arcocoseno è \([−1,1]\), che era il codominio della funzione coseno.

Il codominio dell’arcoseno è \(\left[0,\pi \right]\) che è il sottoinsieme del dominio del coseno in cui la funzione è invertibile.

Funzione gioniometrica inversa: funzione arcotangente

Funzione arcotangente: definizione, dominio e codominio dell’arcotangente

\(f(x)=cos \, x\) è una funzione invertibile nel sottoinsieme del dominio in cui è biunivoca, cioè \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)\).

La funzione inversa si chiama arcotangente ed è indicata con \(g(x)=f^{-1}(x)=arctg\ x\).

Il dominio dell’arcotangente è \(\mathbb{R}\), che era il codominio della funzione tangente.

Il codominio dell’arcotangente è \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)\) che è il sottoinsieme del dominio della tangente in cui la funzione è invertibile.

Esempio

\( artctg \, 1 = \frac{\pi}{4}\) ma perché? Guarda la spiegazione nella lezione sulle funzioni goniometriche inverse.

Funzione gioniometrica inversa: funzione arcocotangente

Funzione arcocotangente: definizione, dominio e codominio dell’arcocotangente

\(f(x)=cotg x \)è una funzione invertibile nel sottoinsieme del dominio in cui è biunivoca, cioè \(\left(0,\pi \right)\).

La funzione inversa si chiama arcotangente ed è indicata con \(g(x)=f^{-1}(x)=arccotg\ x\).

Il dominio dell’arcotangente è \(\mathbb{R}\), che era il codominio della funzione cotangente.

Il codominio dell’arcocotangente è \(\left ( 0,\pi \right) \) che è il sottoinsieme del dominio della cotangente in cui la funzione è invertibile.

Come è indicata l’arcocotangente nella calcolatrice? Scoprilo ora!