Funzioni goniometriche: trasformazioni geometriche

3 ago 2015

Le trasformazioni geometriche di funzioni goniometriche sono le traslazioni, le omotetie o le simmetrie applicate a funzioni goniometriche. Come cambia il grafico di una funzione goniometrica a cui è stata applicata una trasformazione geometrica? Vediamo come cambiano le curve ed il periodo!

Simmetrie, dilatazioni, compressioni: come cambia il grafico delle funzioni goniometriche applicando un’omotetia

Periodo delle funzioni goniometriche: quali trasformazioni lasciano invariato il periodo delle funzioni goniometriche e quali no

Grafici con valori assoluti: come varia la curva di una funzione goniometrica se l’argomento o l’intera funzione sono dentro al modulo

Traslazioni lungo gli assi

Traslazioni lungo gli assi: come cambia il grafico delle funzioni goniometriche applicando una traslazione.

Per traslare tutte le funzioni goniometriche orizzontalmente, e quindi lungo la direzione dell’asse x, dobbiamo aggiungere una costante all’argomento della funzione:
\( y=sen (x+a) \) con \(a \in \mathbb{R}\) è una traslazione orizzontale perché abbiamo aggiunto la costante a all’argomento del seno!

• Se \( a > 0 \) la traslazione è verso sinistra di un intervallo lungo \( |a|\)
• Se a\( a < 0 \) la traslazione è verso l’alto di un intervallo lungo \( |a|\)

Per traslare tutte le funzioni goniometriche verticalmente, e quindi lungo la direzione dell’asse \( y \) dobbiamo aggiungere una costante al valore della funzione: \( y= cos x + b = b + cos x\) è una traslazione verticale perché abbiamo aggiunto una costante al valore della funzione e non solo al suo argomento!

• Se \( b>0\) la traslazione è verso l’alto di un intervallo lungo\( |b| \)
• Se \(b<0\) la traslazione è verso l’alto di un intervallo lungo \( |b| \)

Simmetrie, dilatazioni, compressioni

Moltiplicando l’argomento di una funzione goniometrica, oppure l’intera funzione goniometrica per una costante \(k \), il grafico della funzione si dilata o si comprime. Stiamo applicando un’omotetia!
Cosa accade moltiplicando l’argomento, per esempio, di \( y=sen x per k\ in \mathbb{R}\) ?

La nuova funzione è \( y= sen k x \), il grafico subisce una trasformazione “orizzontale”, ossia abbiamo:

• una compressione lungo l’asse \( x \) se \( k>1 \);
• una dilatazione lungo l’asse \( x \) se \( 0<k<1\).

Il codominio rimane lo stesso della funzione goniometrica di partenza, ma le “onde” sono rispettivamente più o meno frequenti.

Cosa accade invece se moltiplichiamo tutta la funzione, per esempio\(y=sen x\), per \( k \in \mathbb{R}\)?

La nuova funzione è \(y=k senx \), il grafico viene trasformato in “verticale”, ossia abbiamo:

• una compressione lungo l’asse \(y\) se \(0<k<1\);
• una dilatazione lungo l’asse \(y\) se \(k>1\).

La funzione interseca l’asse \(x\) sempre negli stessi punti ma cambia il codominio, per esempio il seno o il coseno saranno contenuti nella fascia compresa fra le rette \(y=−k\) e \(y=k\) e non più \(y=−1\) e \(y=1\).

Periodo delle funzioni goniometriche

Traslazioni e simmetrie applicate alle funzioni periodiche non modificano il periodo.

Quando cambia il periodo di una funzione? Il periodo viene modificato:

• dalle omotetie: se abbiamo \(y=sen(ax)\) il nuovo periodo \(T\) si ottiene risolvendo \(aT=2 \pi\); se invece abbiamo \(tg(bx)\) il nuovo periodo \(T\) sarà \(bT= \pi\)
• dalla somma di funzioni goniometriche: il nuovo periodo è il minimo comune multiplo dei singoli periodi delle funzioni sommate.

Grafici con valori assoluti

Il grafico delle funzioni goniometriche cambia a seconda che il modulo sia applicato all’argomento della funzione oppure all’intera funzione.
Se il modulo è applicato all’argomento della funzione, analizziamo il modulo e otteniamo una funzione a tratti.
Se il modulo è applicato a tutta la funzione, disegniamo la funzione e ribaltiamo sopra l’asse delle x tutte le parti della curva che si trovano nella parte negativa.