Funzioni seno e coseno: spiegazione, esercizi e grafici

20 gen 2018

Funzioni seno e coseno: spiegazione completa

Il seno e il coseno sono l’ordinata e l’ascissa di un punto sulla circonferenza goniometrica.
Possono essere analizzati come funzione dell’angolo, poiché ad ogni angolo corrisponde un unico valore di seno e coseno.

Dominio e codominio delle funzioni seno e coseno

• Il dominio delle funzioni seno e coseno è l’insieme dei reali \(\mathbb{R}\) perché per ogni valore \(x\) dell’angolo puoi trovare un punto corrispondente sulla circonferenza goniometrica.
• Il codominio delle funzioni seno e coseno è l’intervallo\( [−1,1] \).
  Il punto appartiene alla circonferenza centrata nell’origine e di raggio \(1\), quindi avrà coordinate comprese fra \(– 1 \) e \(1\).

Ripassa il dominio e il codominio di una funzione.

Proprietà fondamentali delle funzioni seno e coseno

Le proprietà delle funzioni seno e coseno sono:

1. Periodicità

Seno e coseno sono periodici di \(2\pi\) cioè assumono gli stessi valori sottraendo o sommando multipli di \(2\pi\) all’angolo \(x\):

• \(sen(x+2k\pi)=sen \ x\) con \(k \in \mathbb{Z}\)
• \(cos(x+2k\pi)=cos \ x\) con \(k \in \mathbb{Z}\)

La periodicità è utile perché basta studiare la funzione fra \( [0,2\pi] \) e poi riportarla uguale in tutti gli altri intervalli reali.

2. Simmetria

Analizzando due punti simmetrici rispetto all’asse \(x\) (o all’asse \(y\) ) sulla circonferenza goniometrica si trova che:

• il coseno è una funzione pari \( cos(-x)=cos \ x \)
• il seno è una funzione dispari \( sen(-x)=-sen \ x\)

3. Segno e monotonia

Guarda il riassunto per capire quando le funzioni seno e coseno sono positive, negative, nulle, crescenti o decrescenti.

La funzione \( y=sen \ x \) è:

• positiva in \((0,\pi)\)
• negativa in \((\pi,2\pi)\)
• nulla in \(x=0,\pi\)
• crescente in \( \left[0, \frac{\pi}{2} \right] \cup \left[\frac{3}{2}\pi, 2\pi \right]\)
• decrescente in \(\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi \right]\)

La funzione \(y=cos x \)è:

• positiva in\( \left[ 0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left( \frac{3}{2}\pi, 2\pi \right]\)
• negativa in \( \left( \frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi\right)\)
• nulla in \( x=\frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi \)
• crescente in \([\pi,2\pi]\)
• decrescente in \([0,\pi]\)

I grafici di sinusoide e cosinusoide

Ti può essere d’aiuto il grafico delle funzioni seno e coseno.

• Il grafico della funzione seno si chiama sinusoide
• Il grafico della funzione coseno si chiama cosinusoide

Esercizio svolto

Per quali \( \alpha \), compresi tra \(0\) e \(2\pi\), l’equazione \(x^2+2x+cos\alpha=0\) ha due soluzioni distinte?

La risposta è \( 0 < \alpha < 2\pi\) Spiegazione L’equazione di secondo grado \(x^2+2x+cos\alpha=0\) ha due soluzioni distinte se \(\Delta>0\).
In questo caso calcola \(\Delta 4\) perché \(b\) è pari:
\(\Delta 4 = 1 − cos \alpha >0 \rightarrow cos \alpha<1\)

Ma questo vale per ogni \(\alpha \) tranne per \( \alpha=0\) e \(\alpha=2\pi\) perché \(cos 0=cos 2\pi = 1\).

Quindi l’equazione ammette due soluzioni distinte per \( 0 < \alpha < 2\pi\).

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