La geometria di Redooc: linee piane, figure concave e convesse

16 gen 2015

Nella Geometria di Redooc linea piana, figura concava e convessa e figure congruenti sono concetti importanti perché iniziano a creare la distinzione tra dentro e fuori e il confronto tra enti geometrici.
E possiamo risolvere problemi, come questo: “In un campo viene realizzata una caccia al tesoro: è necessario raggiungere tre punti per completare il gioco. Se mentre si cammina si segna sulla mappa la strada percorsa, si traccia una linea curva. Quante linee curve si possono disegnare diverse tra loro, cioè quanti percorsi possibili possiamo seguire?”

In questa video lezione imparerai:

• Linee piane: cos’è una linea piana? La circonferenza è una linea piana?
• Figure concave e convesse: qual è la definizione di figura concava? E di figura convessa? Qual è la differenza tra le due?
• Congruenza tra figure: cosa significa che due figure sono congruenti?

Linee piane

Una linea piana è un insieme di punti ottenuti dal movimento continuo di un punto A del piano. Infatti, quando appoggi la punta della matita sul foglio (concettualmente un punto) e la trascini crei una linea piana.
Una linea curva è ogni linea che non è una retta, semiretta o segmento. Se in una linea curva prendo 2 punti, B e C, creo l’arco BC, con B e C gli estremi dell’arco. Per due punti passano infinite curve (e una sola retta!).
La distanza fra due punti è la lunghezza del segmento che ha per estremi i due punti: questo rappresenta il percorso più breve per andare da un punto all’altro. Una linea è:

• chiusa se a fine percorso arriviamo nuovamente al punto di partenza. In caso contrario la linea è aperta.
• intrecciata se, durante il percorso, incontriamo uno stesso punto più di una volta. In caso contrario è semplice.

Ogni linea chiusa semplice divide il piano in 2 parti:

• una (quella interna alla linea chiusa) che contiene solo segmenti;
• una (quella esterna alla linea chiusa) che contiene anche rette.

I punti della prima regione si chiamano interni alla linea, quelli della seconda esterni.

Postulato di partizione del piano da parte di una linea chiusa:
Data una linea chiusa e due punti, uno interno e uno esterno, una linea che congiunga i due punti incontra la linea chiusa in almeno un punto.

Circonferenza: dati nel piano i punti O e A, l’insieme dei punti del piano che hanno da Ola stessa distanza di A forma la circonferenza di centro O e raggio OA. Presi a piacere, in un piano, un punto e un segmento, esiste una e una sola circonferenza che ha per centro quel punto e per raggio quel segmento.

Cerchio: l’insieme dei punti della circonferenza e dei suoi punti interni.

Figure concave e convesse

Una figura è:

• convessa se, unendo qualsiasi coppia di punti della figura, il segmento che si crea è sempre tutto contenuto all’interno della figura;
• concava se non è convessa.

Il piano, le rette, le semirette, i segmenti e i semipiani sono tutte figure convesse.

Anche gli angoli possono essere:

• concavi se contengono i prolungamenti dei lati
• convessi se non contengono i prolungamenti dei lati
• piatti se contengono i prolungamenti dei lati ma non all’interno, bensì lungo i lati

Congruenza tra figure

Due figure sono:

• uguali se sono coincidenti punto a punto (senza spostarle)
• congruenti se sono sovrapponibili punto a punto … dopo averle spostate senza deformarle (movimento rigido).

I tre postulati fondamentali dei movimenti rigidi sono:

• tutte le rette sono fra loro congruenti
• tutte le semirette sono fra loro congruenti
• tutti i semipiani (e quindi anche gli angoli piatti) sono fra loro congruenti

La congruenza è una relazione d’equivalenza perché ha le seguenti proprietà:

• riflessiva: ogni figura è congruente a se stessa
• simmetrica: se la figura A è congruente a B, anche la figura B è congruente ad A
• transitiva: se la figura A è congruente a B e la figura B è congruente a C, allora la figura A è congruente a C

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