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La sfidaHai due lunghe carote che si incontrano in un punto (sono disposte a V). |
Prima di affrontare il teorema di Talete, devi capire bene cosa significa parlare di grandezze direttamente proporzionali.
Prendi due insiemi \( A \) e \( B \) di grandezze omogenee tra cui esiste una corrispondenza biunivoca, ovvero ad ogni elemento di \( A \) è associato uno e un solo elemento di \( B \). Questi due insiemi sono direttamente proporzionali se il rapporto di due qualsiasi grandezze in \( A \) è uguale al rapporto delle corrispondenti grandezze in \( B \).
Perché gli insiemi siano direttamente proporzionali devono essere valide queste due condizioni:
Preso un insieme di rette parallele \( a, b, c \) tagliate da due trasversali \( p \) e \( q \), i segmenti che si formano su \( p \) dall’intersezione con le rette parallele sono direttamente proporzionali ai segmenti che si formano su \( q \).
Per dimostrare il teorema di Talete devi verificare due condizioni:
Per dimostrare la prima condizione traccia due segmenti paralleli ad una trasversale che abbiano un estremo in comune con l’altra trasversale: si formano così due parallelogrammi e due triangoli. Per le proprietà dei triangoli e quelle delle rette parallele puoi dimostrare la congruenza dei due triangoli.
Per dimostrare la seconda condizione, ragiona sulle somme di segmenti.
Guarda tutti i passaggi della dimostrazione.
Ci sono diverse applicazioni del teorema di Talete. Eccone due:
Un altro corollario del teorema di Talete è il teorema della bisettrice:
La bisettrice di uno degli angoli interni di un triangolo taglia il lato opposto all’angolo in segmenti proporzionali agli altri due lati.
Per dimostrare questo teorema disegna la bisettrice e le sue parallele che passano per gli altri due vertici del triangolo.
Considera un triangolo \( \stackrel\triangle{ABC} \) e la bisettrice dell’angolo \( A \), che interseca il lato \( BC \) nel punto \( D \).
Sai che:
\( BC = 9 cm \)
\( AB = 7 cm \)
\( AC = 14 cm \)
Quanto misurano \( BD \) e \( CD \)?
Chiama \( BD=x \) e \( CD=y \).
Per il teorema della bisettrice di un angolo interno, sai che \( \frac{BD}{CD} = \frac{x}{y} = \frac{AB}{AC} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \)
Inoltre, sai che \( BD + CD = BC \), quindi \( x+y=9 \) .
Devi solo risolvere il sistema:
\( \begin{cases} x = \frac{1}{2}y \\ x+y = 9 \end{cases} \)
Usa il metodo di sostituzione e trovi: \( x=3 \),\( y=6 \)
Quindi \( BD=3cm \), \( CD=6cm \)
E se sei curioso di sapere come finisce la sfida vai qui… |
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