Il teorema di Talete

La sfida

Hai due lunghe carote che si incontrano in un punto (sono disposte a V).
Ora devi tagliare con precisione, facendo dei tagli paralleli tra loro, in orizzontale. Sulla prima carota hai ottenuto dei pezzi di misura 3 cm, 6 cm, 9 cm e 6 cm; sull’altra carota uno dei pezzi (quello corrispondente a 3 cm) misura 2 cm.
Quanto misurano gli altri?

Prima di affrontare il teorema di Talete, devi capire bene cosa significa parlare di grandezze direttamente proporzionali.
Prendi due insiemi \( A \) e \( B \) di grandezze omogenee tra cui esiste una corrispondenza biunivoca, ovvero ad ogni elemento di \( A \) è associato uno e un solo elemento di \( B \). Questi due insiemi sono direttamente proporzionali se il rapporto di due qualsiasi grandezze in \( A \) è uguale al rapporto delle corrispondenti grandezze in \( B \).

Perché gli insiemi siano direttamente proporzionali devono essere valide queste due condizioni:

se in \( A \) ci sono due grandezze uguali, anche le corrispondenti grandezze in \( B \) sono uguali;
alla somma di due grandezze in \( A \) corrisponde la somma di due grandezze in \( B \).

Enunciato del teorema di Talete

Preso un insieme di rette parallele \( a, b, c \) tagliate da due trasversali \( p \) e \( q \), i segmenti che si formano su \( p \) dall’intersezione con le rette parallele sono direttamente proporzionali ai segmenti che si formano su \( q \).

Dimostrazione del teorema di Talete

Per dimostrare il teorema di Talete devi verificare due condizioni:

a segmenti uguali su \( p \) corrispondono segmenti uguali su \( q \);
alla somma di due segmenti su \( p \) corrisponde su \( q \) la somma dei segmenti corrispondenti.

Per dimostrare la prima condizione traccia due segmenti paralleli ad una trasversale che abbiano un estremo in comune con l’altra trasversale: si formano così due parallelogrammi e due triangoli. Per le proprietà dei triangoli e quelle delle rette parallele puoi dimostrare la congruenza dei due triangoli.

Per dimostrare la seconda condizione, ragiona sulle somme di segmenti.

Guarda tutti i passaggi della dimostrazione.

Corollari del teorema di Talete

Ci sono diverse applicazioni del teorema di Talete. Eccone due:

Se una retta è parallela ad uno dei tre lati di un triangolo, allora gli altri due lati sono divisi da questa retta in segmenti proporzionali.
Se una retta interseca due lati di un triangolo formando dei segmenti proporzionali, allora la retta è parallela al terzo lato.

Teorema della bisettrice di un angolo interno

Un altro corollario del teorema di Talete è il teorema della bisettrice:
La bisettrice di uno degli angoli interni di un triangolo taglia il lato opposto all’angolo in segmenti proporzionali agli altri due lati.
Per dimostrare questo teorema disegna la bisettrice e le sue parallele che passano per gli altri due vertici del triangolo.

Esercizio

Considera un triangolo \( \stackrel\triangle{ABC} \) e la bisettrice dell’angolo \( A \), che interseca il lato \( BC \) nel punto \( D \).
Sai che:
\( BC = 9 cm \)
\( AB = 7 cm \)
\( AC = 14 cm \)
Quanto misurano \( BD \) e \( CD \)?

Chiama \( BD=x \) e \( CD=y \).
Per il teorema della bisettrice di un angolo interno, sai che \( \frac{BD}{CD} = \frac{x}{y} = \frac{AB}{AC} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \)
Inoltre, sai che \( BD + CD = BC \), quindi \( x+y=9 \) .
Devi solo risolvere il sistema:
\( \begin{cases} x = \frac{1}{2}y \\ x+y = 9 \end{cases} \)
Usa il metodo di sostituzione e trovi: \( x=3 \),\( y=6 \)
Quindi \( BD=3cm \), \( CD=6cm \)