Integrali. Metodo di integrazione per parti.

La sfida

Prendiamo una molla che ha un’estremità attaccata al muro, molto vicino al pavimento; se leghiamo na pallina all’altra estremità e tiriamo, la pallina inizia ad oscillare avanti indietro sul pavimento ma, a causa dell’attrito, le oscillazioni sono sempre più ridotte e alla fine la pallina si ferma.
La velocità della pallina può essere espressa da una funzione del tipo
\(v(t) =e^{-t} cos \, \omega \, t \)
(nell’opportuno sistema di riferimento). Sapendo che, per \( \omega = 1\), da quando la pallina viene lasciata andare a quando si ferma passano 5 secondi e che lo spazio percorso, conoscendo la velocità, si calcola con l’integrale \(\int_{t_1}^{t_2} v (t) dt \), sapresti dire quanti metri ha percorso la pallina prima di fermarsi?
\(\)

Formula di integrazione per parti

La tecnica di integrazione per parti permette di lavorare con funzioni integrande che si possono esprimere come prodotto di due funzioni distinte, in genere più semplici.
Guarda l’esempio svolto e poi fai tutti gli esercizi (con spiegazione compresa) alla lezione Metodo di integrazione per parti.

Integrali del logaritmo e dell’arcotangente

Grazie a questo metodo d integrazione puoi calcolare le primitive di due funzioni abbastanza semplici, che non ammettono un integrale “immediato”:

il logartimo
l’arcotangente

Integrale del logaritmo

Per calcolare \(\int \ln x \, d \, x\), riscrivi l’integranda come prodotto tra la costante 1 e la funzione logaritmo: \(\int \ln x \, d \, x = \int (1 \cdot \ln \, x) dx \) e applica la formula di integrazione per parti. Completa la spiegazione, guarda l’esempio svolto e poi fai tutti gli esercizi (tutti spiegati) alla lezione Metodo di integrazione per parti. In questa lezione trovi anche l’integrale dell’arcotangente.

Tecniche per integrare per parti

Per usare il metodo dell’integrazione per parti al meglio, bisogna scegliere bene il fattore finito e il fattore differenziale.
Ecco tutti i casi che trovi alla lezione Metodo di integrazione per parti:

Potenza e funzione esponenziale, seno e coseno
Potenza e logaritmo

Integrazione per parti multiple

Ad esempio, come integrare la funzione \( h(x)= e^x \, sen \, x\)?
In questo caso è indifferente scegliere l’una o l’altra come fattore differenziale. Nel procedimento ricorda però che sono sempre necessarie almeno due integrazioni per parti e la scelta del fattore differenziale nella seconda deve essere coerente con la prima.
Completa la spiegazione e guarda gli esercizi risolti alla lezione Metodo di integrazione per parti.