Proprietà degli integrali definiti

24 lug 2015

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Le proprietà degli integrali definiti permettono di semplificare l’espressione dell’integranda e valutare l’integrale con più facilità. Iniziamo con le due proprietà di linearità, poi le proprietà dell’intervallo di integrazione degli integrali definiti ed infine le proprietà di segno degli integrali definiti.

La sfida

Il baricentro di un triangolo è il punto di incontro delle sue mediane. Per trovare le coordinate del baricentro di una qualsiasi area dobbiamo usare le seguenti formule:
Ascissa: \(x_B = \frac{1}{A} \int_{a}^{b} x f(x) dx\)
Ordinata: \(y_B = \frac{1}{2A} \int_{a}^{b} [ f(x) ]^2 dx\)
dove \( A=\int_{a}^{b} f(x) dx \)
Quali sono le coordinate del baricentro della figura delimitata dalla funzione \( f(x) = x^2 – 1 \), dall’asse delle ascisse e dalle rette verticali \(x= 1\) e \( x = – 1\)??

 

Proprietà di linearità degli integrali definiti

Prima proprietà di linearità

L’integrale della somma di funzioni continue in un intervallo \([a,b]\) è la somma degli integrali delle singole funzioni.
Nel caso di due funzioni
\(\int_{a}^{b} [ f(x) + g(x)] dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx\)

Seconda proprietà di linearità

L’integrale del prodotto di una funzione continua in un intervallo \( [a, b] \) per una costante è uguale al prodotto tra la costante e l’integrale della funzione.
\(\int_{a}^{b} k f(x) dx = k \int_{a}^{b} f(x) dx \)

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Proprietà dell’intervallo di integrazione degli integrali definiti

Gli integrali definiti hanno altre due proprietà che ci aiutano a semplificare i calcoli:

Scambio degli estremi

Se \(a<b\) e \(f(x)\) continua in \([a,b]\) allora \(\int_{b}^{a} f(x) dx =- \int_{a}^{b} f(x) dx\), cioè scambiando l’ordine degli estremi di integrazione, cambia il segno dell’integrale.

Additività rispetto all’intervallo di integrazione

Se \( f(x) \) è una funzione continua in un intervallo contenente i punti \( a, b\) e \(c\) allora possiamo scrivere
\(\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x)dx\)

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Proprietà di segno degli integrali definiti

Proprietà di monotonia

Se \( f(x) \) e \( g(x) \) sono funzioni continue in \([a,b]\), \(a \le b\) e \(f(x) \le g(x)\) allora tra gli integrali delle due funzioni vale la stessa relazione di disuguaglianza:

\( \int_{a}^{b} f(x) dx \le \int_{a}^{b} g(x) dx\)

Proprietà del modulo

Se \( f(x) \) è continua in \( [a, b] \), allora il valore assoluto dell’integrale della funzione è minore o uguale dell’integrale del modulo della funzione stessa.
\( \bigg | \int_{a}^{b} f(x) dx \bigg | \le \int_{a}^{b} |f(x) dx |\)

Integrali di funzioni simmetriche su intervalli simmetrici

Se prendiamo un intervallo simmetrico del tipo [-a,a] allora:

  • Se \( f(x)\) è una funzione dispari allora \( \int_{-a}^{a} f(x) dx = 0\)
  • Se \( f(x)\) è una funzione pari allora\( \int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx\)

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