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Le proprietà degli integrali definiti permettono di semplificare l’espressione dell’integranda e valutare l’integrale con più facilità. Iniziamo con le due proprietà di linearità, poi le proprietà dell’intervallo di integrazione degli integrali definiti ed infine le proprietà di segno degli integrali definiti.
La sfidaIl baricentro di un triangolo è il punto di incontro delle sue mediane. Per trovare le coordinate del baricentro di una qualsiasi area dobbiamo usare le seguenti formule: |
L’integrale della somma di funzioni continue in un intervallo \([a,b]\) è la somma degli integrali delle singole funzioni.
Nel caso di due funzioni
\(\int_{a}^{b} [ f(x) + g(x)] dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx\)
L’integrale del prodotto di una funzione continua in un intervallo \( [a, b] \) per una costante è uguale al prodotto tra la costante e l’integrale della funzione.
\(\int_{a}^{b} k f(x) dx = k \int_{a}^{b} f(x) dx \)
Guarda tutti gli esercizi risolti e spiegati Proprietà degli integrali definiti.
Gli integrali definiti hanno altre due proprietà che ci aiutano a semplificare i calcoli:
Se \(a<b\) e \(f(x)\) continua in \([a,b]\) allora \(\int_{b}^{a} f(x) dx =- \int_{a}^{b} f(x) dx\), cioè scambiando l’ordine degli estremi di integrazione, cambia il segno dell’integrale.
Se \( f(x) \) è una funzione continua in un intervallo contenente i punti \( a, b\) e \(c\) allora possiamo scrivere
\(\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x)dx\)
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Se \( f(x) \) e \( g(x) \) sono funzioni continue in \([a,b]\), \(a \le b\) e \(f(x) \le g(x)\) allora tra gli integrali delle due funzioni vale la stessa relazione di disuguaglianza:
\( \int_{a}^{b} f(x) dx \le \int_{a}^{b} g(x) dx\)Se \( f(x) \) è continua in \( [a, b] \), allora il valore assoluto dell’integrale della funzione è minore o uguale dell’integrale del modulo della funzione stessa.
\( \bigg | \int_{a}^{b} f(x) dx \bigg | \le \int_{a}^{b} |f(x) dx |\)
Se prendiamo un intervallo simmetrico del tipo [-a,a] allora:
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