Iperbole. Condizioni per trovare l'equazione di un'iperbole

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Gli appunti sull’iperbole che aspettavi. Impara quali sono le condizioni per trovare un’iperbole: passa per due punti, oppure conosci un punto e la sua eccentricità, oppure un punto e un asintoto, oppure un punto e una retta tangente.

La sfida

La gara di skateboard ha finalmente inizio!
Dopo alcune prove sull’half-pipe che avevi visto montare dagli operai, la sfida si complica.
Infatti, una seconda pista, con lo stesso vertice della precedente (la trovi alla lezione …) ma più stretta, viene appoggiata sull’half-pipe.
Riuscirai a non cadere?
Nell’attesa del tuo turno provi a calcolare l’equazione della nuova pista. Quella vecchia aveva equazione \(x^2 – 9 y^2 = – 1 \) e l’eccentricità di quella nuova è \( e= 2 \).
Qual è l’equazione della nuova iperbole?

Iperbole dati due punti

L’equazione di un’iperbole (sia con i fuochi sull’asse \(x\) che con i fuochi sull’asse \(y\)) può essere trovata in vari modi, conoscendo alcune caratteristiche.
L’equazione \( \frac {x^2}{a^2} – \frac {y^2}{b^2} =\pm 1 \) presenta due parametri, quindi per determinarla univocamente (cioè in un solo modo, senza che ci siano ambiguità) occorrono 2 condizioni indipendenti.
Puoi trovare 2 di queste condizioni combinando:

Le formule per trovare fuoco e vertici
L’appartenenza di un punto all’iperbole, ovvero, dato un punto per il quale passa l’iperbole, le sue coordinate devono rendere l’equazione della curva un’identità.

Esercizio

Determinare l’equazione dell’iperbole che ha un fuoco in \( F_1 ( -\sqrt 7; 0) \) e passa per il punto \( P (2 \sqrt 2; – \sqrt 3)\).
La soluzione è \( 7 = a^2 + b^2 \)
Come ci siamo arrivati?
Guarda la spiegazione dell’esercizio alla lezione Condizioni per trovare l’equazione di un’iperbole.

Iperbole dato un punto e l’eccentricità

Un punto e l’eccentricità della curva sono 2 condizioni per trovare l’iperbole.

Esercizio

Trovare l’equazione dell’iperbole con vertice non reale \( A_1 (-2; 0) \) e eccentricità \( e = \frac{3 \sqrt 5}{5} \).
Per imparare a impostare e l’equazione guarda la lezione Condizioni per trovare l’equazione di un’iperbole.

Iperbole dati un punto e un asintoto

E se conosciamo un punto (vertice, fuoco, o punto appartenente all’iperbole) e un asintoto dell’iperbole.
Ma ricordiamo che conoscere un asintoto significa conoscerli tutti e due.

Esercizio

Scrivere l’equazione dell’iperbole che ha un fuoco in \( F_2 ( \frac{5}{3}; o )\) e un asintoto di equazione \( 4y + 3x = 0 \).
Trovi la soluzione e la spiegazione dell’esercizio alla lezione Condizioni per trovare l’equazione di un’iperbole.

Iperbole dati un punto e una tangente

Se vogliamo trovare un’iperbole conosciuto un punto e l’equazione di una sua tangente dobbiamo prima sfruttare la condizione data dal punto e poi imporre la condizione di tangenza (ossia imporre \( \Delta = 0\) nell’equazione risolvente del sistema retta-iperbole).

Completa la spiegazione la spiegazione e risolvi gli esercizi che trovi alla lezione Condizioni per trovare l’equazione di un’iperbole.