Iperbole. Definizione e equazione dell'iperbole

In questo articolo trovi tutto sull’iperbole: la definizione dell’iperbole, l’equazione dell’iperbole con i fuochi sull’asse \( x\) e l’equazione dell’iperbole con i fuochi sull’asse \( y\).

La sfida

Tra pochi giorni inizia la gara di skateboard a cui ti sei iscritto e, giusto per fare qualcosa, vai a dare un’occhiata ai lavori.
Stando alla riva del laghetto vicino al campo di gara vedi che nei pressi della sponda opposta hanno montato un half-pipe a forma di iperbole con distanza focale pari a \( \frac{2 \sqrt 10}{3} dam \).
Incuriosito, chiedi a un operaio quale sia la differenza della distanze di un punto qualunque dell’iperbole dai due fuochi e scopri che è pari a \( \frac{2}{3} dam\).
Sapresti dire qual è l’equazione dell’half-pipe (e del suo riflesso nel laghetto)?

Luogo geometrico dell’iperbole

Caratteristiche:

\(F_1\) e \(F_2\) sono i fuochi;
Distanza focale: è la distanza tra \(F_1\) e \(F_2\) e si indica con \(2c: = \overline {F_1 F_2} = 2c\);
Centro dell’iperbole: è il punto medio del segmento \(F_1 F_2\);
Per ogni punto \(P\) dell’iperbole, chiamiamo\(2a\) il valore assoluto della differenza delle distanze di \(P\) da cui ciascuno dei due fuochi:
\(| \overline {PF_1} -\overline {PF_2}| = 2a\)

Guarda il grafico dell’iperbole!

Equazione dell’iperbole con i fuochi sull’asse \( x \)

Studiamo l’iperbole con:
il centro nell’origine degli assi cartesiani
i fuochi o sull’asse delle ascisse o su quello delle ordinate
L’asse che contiene i fuochi si chiama asse trasverso; l’altro si dice asse non trasverso.
L’equazione canonica (cioè in forma normale) dell’iperbole con i fuochi sull’asse \(x\):
\(\frac {x^2}{a^2} – \frac {y^2}{b^2} = 1 \)
Guarda tutti i passaggi per trovare l’equazione dell’iperbole!