Iperbole equilatera riferita agli assi e iperbole riferita agli asintoti

Scopri cos’è un’iperbole equilatera riferita agli assi e quali sono le sue caratteristiche. Scopri che differenza c’è tra una iperbole equilatera riferita agli assi e una riferita agli asintoti. Infine vedi come funziona una rotazione di 45°

La sfida

La gara di skateboard diventa sempre più avvincente e l’half-pipe viene sostituito da una discesa (abbastanza rapida) che, vista di profilo, assomiglia al ramo di un’iperbole. Partendo dalla considerevole altezza di 10 metri, tutti i concorrenti transitano per il punto che si trova a tre metri, sia dalla parete verticale che dalla strada.
Qual è l’equazione della pista, se prendiamo la parete verticale e la strada come assi cartesiani?

Iperbole equilatera riferita agli assi

Un’iperbole si dice equilatera quando, nell’equazione in forma normale \( \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = \pm 1\)
\(a^2=b^2\), ovvero l’asse trasverso e l’asse non trasverso hanno la stessa lunghezza.

Le iperboli equilatere hanno delle caratteristiche.
Ecco gli elementi principali comuni:

Fuochi: la coordinata \(c\) dei fuochi si trova con la consueta formula
\(c^2 = a^2 + b^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \Rightarrow c= \pm \sqrt 2\)
Asintoti: sono le bisettrici dei quadrati ovvero \(y=x\) e \(y= -x\)
Eccentricità: usando la definizione si ricava un valore fisso per l’eccentricità di tutte le iperboli equilatere \( e = \frac{c}{a} = \frac{c}{b} = \frac{a \sqrt 2}{a} = \sqrt 2\)

Iperbole equilatera riferita agli asintoti

Cosa cambia se consideriamo l’iperbole riferita agli asintoti, cioè l’iperbole equilatera in nuovo sistema di riferimento?
Cosa cambia se consideriamo gli assi cartesiani i suoi asintoti?
Passiamo dal solito sistema di riferimento \(x O y\) al nuovo \(XOY\) dove l’origine è la stessa e i due assi \(X\) e \(Y\) sono i due asintoti, ossia le bisettrici dei quadranti.
Guarda tutta la spiegazione con gli esercizi spiegati e risolti e i relativi grafici alla lezione Iperbole equilatera.