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In questi appunti trovi tutto sull’iperbole: le simmetrie e le intersezioni con gli assi, come passare dall’equazione al grafico dell’iperbole, tutto sull’eccentricità e un quadro riassuntivo di tutto ciò che devi sapere sull’iperbole
La sfidaSei impaziente di provare con lo skateboard l’half-pipe che hai visto l’altro giorno. Discutendo animatamente con il tuo amico Davide iniziate a parlare delle piste più temerarie che avete affrontato. |
Le equazioni dell’iperbole:
In entrambe le equazioni, le variabili \( x\) e \( y\) compaiono elevate al quadrato e non ci sono termini di primo grado.
Ciò significa che l’iperbole è una curva:
a. Simmetria rispetto all’asse \( x\): se \( P (x;y)\) è un suo punto, lo è anche \( P’ (x; -y)\);
b. Simmetria rispetto all’asse \( y\): se \( P (x;y)\) è un suo punto, lo è anche \( P” (- x; y)\);
c. Simmetria rispetto all’origine: se \( P (x;y)\) è un suo punto, lo è anche \( P”’ (-x; -y)\)
Guarda tutti i grafici alla lezione Grafico di una iperbole.
Vediamo ora come disegnare il grafico di un’iperbole sul piano cartesiano, aiutandoci con alcune proprietà. Partiamo dall’asse \( x\).
Conosciamo i seguenti punti:
Vertici reali: \( A_1 (-a;0)\) e \( A_2 (a;0)\);
Vertici non reali:\( B_1 (0; b)\) e \( B_2 (0; – b)\);
Fuochi: \( F_1 (-c;0)\) e \( F_2 (c;0)\);
Tracciamo le rette parallele agli assi e passanti per i vertici: individuiamo così il rettangolo \(LMNP\)
dove \( L (a; b)\), \( M (-a; b)\), \( N ( – a; – b)\), \( P (a; – b)\).
Le diagonali (prolungate) del rettangolo si chiamano asintoti dell’iperbole.
Gli asintoti (di una curva qualsiasi) sono le rette a cui la curva si avvicina sempre di più, senza però intersecarle mai.
È facile ricavare le equazioni degli asintoti dell’iperbole perché sappiamo che passano per i vertici del rettangolo appena costruito. Le equazioni che otteniamo sono:
\( y = – \frac {b}{a} x \)
\( y = \frac {b}{a} x \)
Possiamo dimostrare che tutti i punti dell’iperbole, ad eccezione dei vertici reali, sono esterni al rettangolo \( LMNP \).
Infatti, se scriviamo l’equazione dell’iperbole
\( \frac {x^2}{a^2} – \frac {y^2}{b^2} = 1 \)\(\Rightarrow \frac {x^2}{b^2} = \frac {y^2}{a^2} – 1\)\(\Rightarrow y^2 = b^2 \bigg ( \frac{x^2}{a^2} – 1 \bigg ) \)\( = b^2 \bigg ( \frac {x^2 – a^2}{a^2} \bigg )\)
Poiché il primo membro è di \( y^2 \) ed è sempre positivo o nullo, anche il secondo membro deve esserlo, quindi: \( x^2 – a^2 \ge 0\)\( \Rightarrow x \le – a \vee x \ge a \), che è verificata se i punti dell’iperbole si trovano fuori dal rettangolo.
Guarda tutti gli esercizi spiegati e risolti e i relativi grafici alla lezione Grafico di una iperbole.
L’eccentricità rappresenta la misura dell’apertura dei rami dell’iperbole. A seconda del tipo di iperbole definiamo:
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