Grafico di una iperbole

In questi appunti trovi tutto sull’iperbole: le simmetrie e le intersezioni con gli assi, come passare dall’equazione al grafico dell’iperbole, tutto sull’eccentricità e un quadro riassuntivo di tutto ciò che devi sapere sull’iperbole

La sfida

Sei impaziente di provare con lo skateboard l’half-pipe che hai visto l’altro giorno. Discutendo animatamente con il tuo amico Davide iniziate a parlare delle piste più temerarie che avete affrontato.
Davide, un po’ sbruffone, sostiene che una volta è sceso da un half-pipe a forma di iperbole con equazione \( 20 x^2 – y^2 = – 2 \)
Possibile? Davide dice la verità?

Simmetrie e intersezione con gli assi

Le equazioni dell’iperbole:

Fuochi sull’asse \( x\): \(\frac {x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} =1\)
Fuochi sull’asse \( y\): \(\frac {x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = – 1\)

In entrambe le equazioni, le variabili \( x\) e \( y\) compaiono elevate al quadrato e non ci sono termini di primo grado.
Ciò significa che l’iperbole è una curva:

a. Simmetria rispetto all’asse \( x\): se \( P (x;y)\) è un suo punto, lo è anche \( P’ (x; -y)\);

b. Simmetria rispetto all’asse \( y\): se \( P (x;y)\) è un suo punto, lo è anche \( P” (- x; y)\);

c. Simmetria rispetto all’origine: se \( P (x;y)\) è un suo punto, lo è anche \( P”’ (-x; -y)\)

Guarda tutti i grafici alla lezione Grafico di una iperbole.

Dall’equazione al grafico dell’iperbole

Vediamo ora come disegnare il grafico di un’iperbole sul piano cartesiano, aiutandoci con alcune proprietà. Partiamo dall’asse \( x\).
Conosciamo i seguenti punti:

Vertici reali: \( A_1 (-a;0)\) e \( A_2 (a;0)\);
Vertici non reali:\( B_1 (0; b)\) e \( B_2 (0; – b)\);
Fuochi: \( F_1 (-c;0)\) e \( F_2 (c;0)\);

Tracciamo le rette parallele agli assi e passanti per i vertici: individuiamo così il rettangolo \(LMNP\)
dove \( L (a; b)\), \( M (-a; b)\), \( N ( – a; – b)\), \( P (a; – b)\).

Le diagonali (prolungate) del rettangolo si chiamano asintoti dell’iperbole.
Gli asintoti (di una curva qualsiasi) sono le rette a cui la curva si avvicina sempre di più, senza però intersecarle mai.
È facile ricavare le equazioni degli asintoti dell’iperbole perché sappiamo che passano per i vertici del rettangolo appena costruito. Le equazioni che otteniamo sono:
\( y = – \frac {b}{a} x \)
\( y = \frac {b}{a} x \)

Possiamo dimostrare che tutti i punti dell’iperbole, ad eccezione dei vertici reali, sono esterni al rettangolo \( LMNP \).
Infatti, se scriviamo l’equazione dell’iperbole
\( \frac {x^2}{a^2} – \frac {y^2}{b^2} = 1 \)\(\Rightarrow \frac {x^2}{b^2} = \frac {y^2}{a^2} – 1\)\(\Rightarrow y^2 = b^2 \bigg ( \frac{x^2}{a^2} – 1 \bigg ) \)\( = b^2 \bigg ( \frac {x^2 – a^2}{a^2} \bigg )\)
Poiché il primo membro è di \( y^2 \) ed è sempre positivo o nullo, anche il secondo membro deve esserlo, quindi: \( x^2 – a^2 \ge 0\)\( \Rightarrow x \le – a \vee x \ge a \), che è verificata se i punti dell’iperbole si trovano fuori dal rettangolo.

Guarda tutti gli esercizi spiegati e risolti e i relativi grafici alla lezione Grafico di una iperbole.