La geometria di Redooc: teorema delle rette parallele

26 gen 2015

“Due rette parallele formano con una trasversale angoli…” hai sempre sentito questo enunciato della geometria euclidea e vuoi imparare come si dimostra e quali sono le sue applicazioni? Sei nella video lezione giusta!
Hai imparato cosa sono le rette parallele e come si definiscono, ora puoi imparare il teorema delle rette parallele e alcune sue applicazioni:

• Teorema delle rette parallele: cosa è e quale è la dimostrazione il teorema delle rette parallele
• Parallela per un punto ad una retta: quale è e come si dimostra la condizione per costruire una retta parallela ad una data
• Inverso del teorema delle rette parallele: quale è e quale è la dimostrazione del teorema inverso delle rette parallele
• Proprietà degli angoli con i lati paralleli: quali sono le proprietà degli angoli con i lati paralleli e cosa hanno a che fare con il teorema delle rette parallele

Teorema delle rette parallele

Teorema delle rette parallele:
“Se due rette tagliate da una trasversale formano una coppia di angoli alterni interni congruenti, allora sono parallele.”
Dimostriamo il teorema per assurdo, cioè supponiamo che le due rette siano incidenti e poi applichiamo poi il teorema dell’angolo esterno.
Criteri di parallelismo
Più in generale, possiamo dire che sono parallele due rette che incontrando una terza retta formano:

• angoli alterni (interni o esterni) congruenti, o
• angoli corrispondenti congruenti, o
• angoli coniugati (interni o esterni) supplementari.

Da questo teorema discende il seguente corollario: “due rette perpendicolari ad una stessa retta sono parallele”.

Parallela per un punto ad una retta

È sempre possibile, data una retta r e un punto P esterno ad essa, costruire un’altra retta passante per P e parallela ad r.
Per dimostrare questo teorema disegniamo una retta ed un punto P esterno alla retta. Consideriamo poi un’altra retta trasversale, analizziamo gli angoli che si formano e usiamo il teorema delle parallele per concludere la dimostrazione.
L’unicità di questa retta è data dal quinto postulato di Euclide: “Data una retta e un punto fuori di essa, è unica la retta passante per quel punto e parallela alla retta data.”

Inverso del teorema delle rette parallele

Il teorema inverso delle rette parallele: “se due rette sono parallele, allora formano con una qualunque trasversale due angoli alterni interni congruenti.”
Dimostriamo il teorema per assurdo: supponiamo che i due angoli considerati siano diversi, applichiamo il teorema delle parallele e otteniamo una contraddizione con il quinto postulato di Euclide.
Più in generale, possiamo dire che se due rette sono parallele, allora formano con una trasversale:

• angoli alterni (interni e esterni) congruenti
• angoli corrispondenti congruenti
• angoli coniugati (interni e esterni) supplementari

Da questo teorema seguono alcuni corollari:

• Date due rette parallele, se una retta è perpendicolare a una di esse è perpendicolare anche all’altra
• Date due rette incidenti, le perpendicolari a queste due rette sono anch’esse incidenti
• Due rette che siano parallele a una terza sono tra loro parallele
• Date due rette parallele, se una terza retta incontra una delle due parallele allora incontra anche l’altra.
• Due rette a′ e b′, rispettivamente parallele a due rette a e b incidenti, sono anch’esse incidenti. (Si dimostra per assurdo!)

Proprietà degli angoli con lati paralleli

Dati due angoli con i lati a due a due paralleli e una retta che congiunge i due vertici, sono:

• concordi i lati paralleli che giacciono nella stessa parte di piano rispetto alla retta e
• discordi gli altri lati.

Teorema degli angoli con lati paralleli

Due angoli che hanno i lati paralleli sono:

• congruenti, se entrambi i lati paralleli sono concordi (oppure discordi)
• supplementari, se due lati paralleli sono concordi e gli altri due discordi

Dividiamo la dimostrazione in 3 casi:

• Il caso 1 è quello degli angoli con i lati paralleli concordi, e lo dimostriamo con il teorema delle rette parallele e per la proprietà transitiva della congruenza.
• Il caso 2 è quello degli angoli con i lati paralleli discordi, e lo dimostriamo con il teorema delle rette parallele e applicando la proprietà transitiva della congruenza.
• Il caso 3 è quello dei due lati paralleli concordi e due paralleli discordi, che si dimostra con il teorema delle rette parallele.

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