L’algebra secondo Redooc: le disequazioni lineari e letterali

15 mag 2014

Disequazioni

La matematica è così: è tutto collegato, l’algebra poi, con tutte quelle lettere che i matematici adorano, è come un’aritmetica rinforzata dal calcolo letterale. Non a caso si dice che dove finisce l’aritmetica inizia l’algebra! Per questo su Redooc abbiamo messo insieme algebra e aritmetica, come fanno tutti!

Torniamo ai nostri concetti: eravamo arrivati a dire che le identità stanno alle equazioni come le disuguaglianze stanno alle disequazioni!
Avevamo capito che la disequazione è una disuguaglianza (>, <, ≥, ≤) tra espressioni letterali verificata solo per particolari valori delle lettere che vi compaiono.  Le lettere per le quali cerchiamo i valori che rendono valida la disuguaglianza si chiamano incognite, la famosa x.

Adesso aggiungiamo qualche altra informazione per conoscere meglio le disequazioni.
Innanzitutto è utile sapere che il grado di una disequazione è il massimo esponente con cui compare la variabile x: le disequazioni di primo grado, con la variabile x elevata alla 1° potenza, sono dette lineari.
La disequazione lineare ha come soluzione un intervallo di valori e non un unico valore come per le equazioni lineari (ad esempio 2x-4=0 ha come soluzione x=2). L’intervallo di valori è infatti il sottoinsieme della retta reale composto da tutti i valori > (maggiori) di un certo numero e < (minori) di un altro numero. L’intervallo delle soluzioni di una disequazione lineare può essere rappresentato in due modi: sulla retta orientata o scrivendo l’intervallo.
Infine, una disequazione, come un’equazione, può essere di diverse tipologie: numerica(oltre all’incognita sono presenti solo numeri), letterale (oltre all’incognita sono presenti altre lettere che indicano i coefficienti), intera (l’incognita è presente solo ai numeratori) e fratta (l’incognita è presente anche ai denominatori)… le mie preferite, grazie all’esperienza vissuta a Cles J

Adesso basta con la teoria e torniamo alle disequazioni come le raccontiamo noi!
Usando una disequazione numerica intera nel post sulle disequazioni abbiamo capito insieme a Gregorio e Giulia che, avendo a disposizione 150 € per affittare attrezzatura sub e una barca, se vogliono risparmiare qualche euro per il gelato possono permettersi fino a massimo 9 giorni di affitto.
Se le incertezze nel ragionamento aumentano, dobbiamo utilizzare una disequazione letterale, dove oltre all’incognita x sono presenti anche delle lettere che indicano dei valori non noti, dei coefficienti.
Per risolvere una disequazione letterale lineare intera dobbiamo seguire dei passaggi:
1. Trasformare la disequazione nella forma ax (>, <, ≥, ≤) b
2. Discutere i tre casi  a>, =, < 0, cioè studiare come variano le soluzioni al variare di a.

Facciamo un esempio di disequazione letterale in stile Redooc.

Ai Bagni del Villaggio, dove il prezzo giornaliero dell’attrezzatura è 5€, quello delle canoe 10€ e l’assicurazione obbligatoria 25€, a Gregorio e Giulia non basta una sola canoa perché stanno arrivando degli amici, ma non sanno esattamente quanti! Quanti giorni di affitto possono pagare restando nel budget di 150 € al variare del numero n delle canoe?
Per calcolare quanti giorni di affitto possono permettersi restando nel budget al variare del numero n delle canoe, scriviamo una disequazione letterale, in cui la soluzione dipende dai valori di n (numero delle canoe): 10nx +5x +25<150, quindi 5x(2n+1)<125, da cui x(2n+1)<25. In teoria bisognerebbe studiare i 3 casi di n  >, <, = -1/2… in realtà da un punto di vista pratico consideriamo solo il caso con n positivo, perché un numero negativo di canoe non ha davvero molto senso…
Cerchiamo sempre di dare un senso pratico alla matematica!

Raccontata così, finalmente la matematica si capisce, serve davvero a qualcosa… e si scopre di non essere negati! Sei curioso? Vuoi capire di più? Per questo c’è Redooc!

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