L’algebra secondo Redooc: tutto quello che avresti sempre voluto sapere sulle equazioni lineari

5 apr 2014

Redooc Algebra Equazioni

La matematica, l’algebra in particolare, è proprio così: appena chiarisci un concetto, inizi subito a complicarlo!

Eravamo rimasti alla definizione formale di equazione (un’uguaglianza tra due espressioni letterali verificata solo per alcuni valori di una o più lettere, chiamate incognite, che vi compaiono… la famosa x) e alla sua traduzione in parole semplici: un’equazione è un ragionamento, che serve per trovare il valore di un’incognita, di un dato che non conosco.

Chiarite cosa sono le equazioni, iniziamo a complicarle con un po’ di terminologia… la terminologia e le cosiddette notazioni matematiche hanno la funzione di una mappa, una bussola per orientarsi … sono un linguaggio universale! Che però si rende davvero utile dopo che hai capito bene il concetto matematico, altrimenti complicano e confondono e basta!
Limitiamoci alle famose equazioni lineari, cercando di conoscerle un po’ meglio!

Un’equazione è ridotta a forma normale quando è scritta nella sua forma più semplice, come P(x)=0 con il polinomio P(x) dove non compaiono al suo interno monomi simili. In parole semplici, prima di tutto, appena vedi una cosa che sembra un’equazione (magari perché c’è un = e una x), cerca di trasformarla nella sua versione più semplice.
Gran parte del divertimento nel risolvere le equazioni sta nel ridurle a forma normale, perché devi trovare il modo di semplificarle al massimo! Un’operazione logica che spesso richiede di guardare l’equazione in modo non convenzionale. Personalmente mi ricorda il come si affronta un’opera d’arte, dove è importante per prima cosa la visione d’insieme, il colpo d’occhio complessivo… per poi scendere e magari perdersi nei particolari.

Prendiamo ad esempio x+2x -7+1=0, dove x+2x e -7+1 sono simili (il primo perché entrambi gli elementi contengono la x e il secondo perché sono due numeri), che vanno semplificati in 3x e -6, per arrivare alla soluzione 3x=6.
Il termine senza incognita nell’equazione si chiama termine noto: è noto perché è un numero, quindi è un termine conosciuto: se per esempio è 6, è 6, senza discussioni!
Il grado dell’equazione (prima devi ridurre l’equazione a forma normale) è il (numero del) massimo esponente con cui compare l’incognita x. In parole semplici, devi guardare la potenza della x: nel caso di 2x -7=0 l’esponente (la potenza) di x è 1, quindi l’equazione è di primo grado o lineare.
Le equazioni di primo grado si chiamano lineari, perché si possono rappresentare con una linea retta. Qui ci sarebbe molto da dire… sarà per un’altra volta.
I valori che rendono vera l’uguaglianza si chiamano soluzioni dell’equazione; questi valori “soddisfano” o “verificano” l’equazione. Di solito cerchiamo le soluzioni nell’insieme R dei numeri reali.
Per verificare se la soluzione è corretta basta sostituirla nel testo originale dell’equazione e vedere se l’uguaglianza è verificata. Facile, no? Forse non è un’operazione per pigri, ma vi assicuro che ha il suo lato divertente! Provate per credere!

I tipi di equazioni sono molti!
Considerando le incognite, l’equazione può essere intera se l’incognita è presente solo ai numeratori e fratta se l’incognita è presente anche ai denominatori. Considerando i coefficienti, invece, l’equazione può essere numerica se oltre all’incognita sono presenti solo numeri o letterale se oltre all’incognita sono presenti altre lettere, i coefficienti.
Infine, considerando le soluzioni, l’equazione può essere determinata se ha un numero finito di soluzioni (3x-6=0 fa x=2), indeterminata se ha un numero infinito di soluzioni (ad esempio 3x=2x+x che è vera per ogni x numero reale) e impossibile se non ha soluzioni (non ha soluzioni reali perché non esiste nessun numero reale che elevato al quadrato dia un numero negativo).

Quindi l’equazione è un ragionamento che serve per trovare il valore di un’incognita, un dato che non conosco; ma spesso per arrivare al risultato è necessario avere a disposizione una mappa e una bussola.

Raccontata così, finalmente la matematica si capisce, serve davvero a qualcosa… e si scopre di non essere negati! Grazie Redooc!

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