Il concetto di limite e l’introduzione ai limiti

10 lug 2015

In questa lezione trovi la definizione di limite, il limite di una funzione, a cosa serve calcolare i limiti. Il concetto di intorno, i limiti finiti e infiniti e quando il limite non esiste.

Concetto di limite

Cos’è il limite

Disegniamo una retta e vediamo cosa succede man mano che ci avviciniamo ad un punto \(P (2; 1) \).
Guarda il grafico alla lezione Introduzione ai limiti.
Più ci avviciniamo a \(P\) da destra e da sinistra, più il valore dell’ordinata dei punti che stiamo percorrendo si avvicina all’ordinata del punto \(P\) cioè \( y_P = 1\)
Cosa abbiamo fatto?
Abbiamo calcolato il limite (quindi dove arrivo) per \(x\) che tende a \(2\) (cioè i punti della retta che hanno la \(x\) che si avvicina a \( x_P = 2\)) della retta e abbiamo visto che è  uguale a 1 che è l’ordinata del  punto \(P\) verso cui ci siamo avvicinati.

Ora facciamo la stessa cosa con la parabola \( y = x^2 – 2x + 2 \)
Vogliamo vedere cosa succede avvicinandoci al vertice \( V (1;1)\)
Anche graficamente vediamo (vai alla lezione Introduzione ai limiti per vederlo anche tu!) che ci avviciniamo al vertice \(V\) quindi possiamo già dire che il limite che per \( x \) che tende a \( x_V = 1 \) della parabola è uguale \( y_V = 1 \)
Abbiamo verificato algebricamente il risultato: guarda nella lezione Introduzione ai limiti.
In simboli possiamo dunque scrivere \( \lim\limits_{x \to 1} x^2 – 2x + 3 = 1 \)

Il limite è lo strumento matematico che ci permette di capire come si comporta la funzione: cosa succede alla \( y \)  nel suo grafico vicino ad un punto con una certa ascissa \(x \).

A che cosa serve il limite

Prendi la funzione \( f (x) = \frac{x-2}{x-2}\). Certo puoi semplificare \( x-2\) e ottieni una retta \( y= 1\) ma cosa succede se sostituisci \( x= 2\) ?

Sai che non puoi dividere per \(0\), in più c’è \(0\) anche al numeratore… Come facciamo a calcolare il limite nel punto \(P (2; 1) \) ?
Guarda la spiegazione completa alla lezione di Introduzione ai limiti per arrivare a dire che \( \lim\limits_{x \to 2} \frac {x – 2}{x – 2} = 1 \)
Quindi il limite ci permette di capire come si comporta la funzione vicino a particolari punti del dominio o che non sono nel dominio ma sono estremi del dominio, come \(x =2 \) nell’esempio di prima.

Guarda subito come calcolare il limite di una funzione che vale:

• 2 per \(x<1\)
• 3 per \(x= 1\)
• 4 per \(x<1 \)

Introduzione ai limiti

Definizione di limite

I limiti servono a capire il comportamento della funzione “vicino” a quel punto del piano.

Tutti i casi che possono verificarsi quando calcoliamo un limite

Quando calcoliamo il limite di una funzione, possono verificarsi tre casi:

1. Il limite \( \ell \) esiste e il suo valore è finito: \( \ell \in \mathbb{R}\)
2. Il limite esiste e il suo valore è infinito:  \( \ell = \infty\)
3. Il limite non esiste

Limite esiste finito

Caso di \( \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \ell \)

Se \(x\) tende a un numero finito \(x_0\) significa che \(x\) sta in un intorno circolare di \(x_0\).
Allora se il limite è un numero \( \ell \in \mathbb{R}\) significa che il valore della funzione \( f(x) \) si avvicina a \(\ell\) man mano che \(x\) si avvicina a \(x_0\) da entrambe le direzioni (da destra e da sinistra).
Guarda l’esercizio svolto e spiegato alla lezione di Introduzione ai limiti.

Caso di \( \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \ell \)

La funzione si avvicina a un valore finito \( \ell \) man mano che \(x\) si allontana dall’origine. Quindi per \( x\) molto grande (se \( x \rightarrow +\infty \)) o molto piccolo (se \( x \rightarrow -\infty \)) la funzione si “appiattisce” comportandosi come una retta orizzontale \( y= \ell \).

Guarda la spiegazione completa alla lezione di Introduzione ai limiti.

Limite esiste infinito

Ecco tutti i casi che trovi spiegati nella lezione di Introduzione ai limiti:

• Caso di \( \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \)
• Caso di \( \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = +\infty \)
• Caso di \( \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \)
• Caso di \( \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = +\infty\)
• Caso di \( \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = -\infty\)

Limite non esiste

Guarda nella lezione la spiegazione!
Scoprirai che per \( \lim\limits_{x \to +\infty} sen x \) e \( \lim\limits_{x \to +\infty} cos x \): le funzioni continuano a oscillare tra -1 e 1. Diciamo quindi che \( \lim\limits_{x \to +\infty} sen x \) e \( \lim\limits_{x \to +\infty} cos x \) non esistono.